2009　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^4-3x^2$

とする．

(1)　曲線$f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線を$l$とする．ただし，$t<0$とする．$l$の傾きは$\boxed{\text{ア}}$で，$y$切片は$\boxed{\text{イ}}$である．この接線$l$が原点を通るとき$t=\boxed{\text{ウ}}$となる．このとき，曲線$y=f(x)$と接線$l$は原点と点$(\boxed{\text{ウ}},f(\boxed{\text{ウ}}))$以外の共有点をもち，その共有点の$x$座標は$\boxed{\text{エ}}$であり，曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{オ}}$となる．

(2)　$s$を$0$以上の実数とする．$x$についての方程式$f(x)=sx$の異なる実数解の個数が

• $2$個となるための$s$に関する必要十分条件は$\boxed{\text{カ}}$，
• $3$個となるための$s$に関する必要十分条件は$\boxed{\text{キ}}$，
• $4$個となるための$s$に関する必要十分条件は$\boxed{\text{ク}}$

である．

【２】　$A$は，$2$行$2$列の行列で，いずれの成分も$0$でなく，実数$a\text{，}b$に対して

$3A^2+2aA+bE=O$

を満たしているとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列で，$O$は$2$行$2$列の零行列である．このとき，

$A^3=(\boxed{\text{ケ}})A+(\boxed{\text{コ}})E$

となる．なお，$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$には$a\text{，}b$を用いた式を記せ．さらに，$A$が，実数$c$について

$A^3+a{A}^2+bA+cE=O$

を満たしているとする．$A$のいずれの成分も$0$でないから，$b=\boxed{\text{サ}}\text{，}c=\boxed{\text{シ}}$となる．このことから，

$A^3=(\boxed{\text{ス}})A+(\boxed{\text{セ}})E$

と表され，$2$以上の自然数$n$について，

$A^n=(\boxed{\text{ソ}})A+(\boxed{\text{タ}})E$

となる．なお，$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{タ}}$には$a\text{，}n$を用いた式を記せ．

【３】　$n$を自然数とする．中心の座標$(x_1,y_1)$が$(1,1)$で半径が$1$の円を$C_1$とし，$2$直線$y=0\text{，}y=y_1$と円$C_1$に接し，中心の座標$(x_2,y_2)$が$x_1<x_2$となる円を$C_2$とする．以下同様にして，$n\geqq 3$のとき，$2$直線$y=0\text{，}y=y_{n-1}$と円$C_{n-1}$に接し，中心の座標$(x_n,y_n)$が$x_{n-1}<x_n$を満たす円を$C_n$と順に定めるものとする．

　このとき，$x_2=\boxed{\text{チ}}$であり，$2$以上の$n$について，$n$を用いて，

$y_n=\boxed{\text{ツ}}\text{，}{x}_n=\boxed{\text{テ}}$

と表される．したがって，$C_n$の中心の座標$(x_n,y_n)$は

$y_n=(\boxed{\text{ト}})x_n+\boxed{\text{ナ}}$

を満たす．また，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\boxed{\text{ニ}}$

である．

　次に，$C_n$の面積を$S_n$とおくとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=\boxed{\text{ヌ}}$

となる．

　なお，$\boxed{\text{ト}}$と$\boxed{\text{ナ}}$は，$n$を用いないで記せ．

【４】(1)　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{），}$裏の出る確率が$1-p$の硬貨を使って，$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君，$\mathrm{C}$君の$3$人が

$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\cdots$

の順に硬貨を投げ，初めて表を出したものを勝ちとする．

　この硬貨を投げ続けて$n$回目に初めて表がでる確率は$\boxed{\text{ネ}}$である．$k$を自然数として，$3k$回目までに$\mathrm{A}$君が勝つ確率$P_{\mathrm{A}}(k)$は

$P_{\mathrm{A}}(k)=\boxed{\text{ノ}}$

となる．このとき

$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{\mathrm{A}}(k)=\boxed{\text{ハ}}$

となる．また，$3k$回目までに$\mathrm{B}$君が勝つ確率を$P_{\mathrm{B}}(k)$とすると

$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{\mathrm{B}}(k)=\boxed{\text{ヒ}}$

であり，$3k$回目までに$\mathrm{C}$君が勝つ確率を$P_{\mathrm{C}}(k)$とすると

$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{\mathrm{C}}(k)=\boxed{\text{フ}}$

となる．

(2)　$m$を自然数とする．(1)と同じ硬貨を用いて，今度は${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_m$の$m$人が

${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_m\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_m\text{，}\cdots$

の順に硬貨を投げ，初めて表を出したものを勝ちとする．$k$を自然数として，$mk$回目までに${\mathrm{A}}_1$君が勝つ確率$P_m(k)$は

$P_m(k)=\boxed{\text{ヘ}}$

であり，

$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_m(k)=\boxed{\text{ホ}}\text{，}\underset{m\to \infty }{\lim }\boxed{\text{ホ}}=\boxed{\text{マ}}$

となる．