2009　立命館大　文系学部Ａ方式2月4日実施MathJax

【１】

(1)　数学の問題が$4$題ある．各問題には解答の選択肢が$4$個あり，そのうち正解はそれぞれの問題に$1$つずつある．ある受験生が適当に選択肢を選ぶとき，全問正解する確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$3$問正解する確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

　また，この$4$題で，正解する問題数の期待値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．また，$a>0$とする．

　$2$次関数$f(x)=x^2-ax+3\text{，}g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+bx+c$がある．放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$は，点$\mathrm{A}$において，共通の接線$y=-x+2$を持つ．このとき，点$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$となる．また，このとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値はそれぞれ，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}\text{，}c=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(3)　$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{AB}=4$である$▵\mathrm{OAB}$がある．この三角形の内接円の半径は$\boxed{\text{ケ}}$である．このとき，内接円の中心を$\mathrm{I}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

　また，$▵\mathrm{IOA}\text{，}▵\mathrm{IAB}\text{，}▵\mathrm{IBO}$の面積比は$▵\mathrm{IOA}:▵\mathrm{IAB}:▵\mathrm{IBO}=\boxed{\text{シ}}:\boxed{\text{ス}}:\boxed{\text{セ}}$となる．

【２】　企業が$1$年目の初めに研究開発費$b$万円を投入して新しい製品を開発する．開発すると$2$年目から$T$年目の終りまで特許によって独占が認められ，毎年の初めに$a$万円の利潤が得られる（ただし，特許が切れた後は独占できず利潤は得られなくなる）．この研究開発によって正の収益を得られるか判断するため，次のように考える．研究開発費は$1$年目の初めに銀行から借金をして，特許が切れる$T$年目の終わりに元利合計を一括して返済する．また毎年の利潤も全て$T$年目の終わりまで預金する．$T$年目の終わりの利子も含めた借金額より，$T$年目の終わりの利潤による預金総額が多いとき，研究開発は収益を上げると判断でき，実行される．預金する場合も借金する場合も利率は$r$で，その利息はいずれも$1$年毎の複利になるものとする．また年の初めにある預金・借金に対してその年の終わりに利子がつくものとする．

(1)　$t$年目に得られた利潤の$T$年目の終わりまでの元利合計は$\boxed{\text{ソ}}$万円となる．$2$年目から$T$年目の終わりまでに得られた利潤の元利合計の総和は，$\boxed{\text{タ}}$万円になる．また，$T$年目の終わりの借金の元利合計は$\boxed{\text{チ}}$万円になる．よって研究開発による収益が正になるための条件は，${\displaystyle \frac{b}{a}<\frac{1}{r}}\{\boxed{\text{ツ}}\}$となる（$\boxed{\text{ツ}}$は$a\text{，}b$を使わずに答えなさい）．

(2)　$a=16\text{，}b=600\text{，}r=0.04$のとき，研究開発の収益が正であるためには，$a>\boxed{\text{テ}}$でないといけない．ただし，${\left(1.04\right)}^{15}=1.80$として計算しなさい．

(3)　$a=100\text{，}b=450\text{，}r=0.20$のとき，特許によって独占が認められる期間が$\boxed{\text{ト}}$年以上で研究開発の収益は正となる．ただし，${\log }_{10}1.2=0.08$を用いて計算し，$\boxed{\text{ト}}$は最小の整数で答えなさい．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$を$a\text{，}b\text{，}c$とする．

(1)　余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$を証明せよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の周の長さを$20\text{，}$面積を$10\sqrt{3}$とする．$a=7$のとき，$b\text{，}c$の値を求めよ．ただし，$b<c$とする．

(3)　(2)の三角形において，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から対辺に向かって下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，四角形$\mathrm{APMQ}$の面積を求めよ．