2010　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　右図のように，双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{4}}-y^2=1$の右と左の焦点を$\mathrm{F}$と${\mathrm{F}}^{\prime }$とする．点$\mathrm{F}$を通り，傾き$k$が正の直線$l$を，双曲線と$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるように引く．ただし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標はいずれも正とする．

(a)　焦点$\mathrm{F}$の$x$座標は$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$である．

(b)　$k$のとりうる値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}<k$である．

(c)　${\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{A}+{\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{B}=12$のとき$\mathrm{AB}=\boxed{\text{エ}}$である．また，このとき，$k={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　不等式$|\sqrt[3]{n}-\sqrt{3}|<1$を満たす自然数$n$について考える．このような$n$で最小のものは$\boxed{\text{ア}}$であり，最大のものは$\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．

(b)　不等式$|\sqrt[3]{[x^2+x+1]}-\sqrt{3}|<1$を満たすような実数$x$のとりうる値の範囲は$-\boxed{\text{エ}}<x\leqq -\boxed{\text{オ}}$および$\boxed{\text{カ}}\leqq x<\boxed{\text{キ}}$である．ここで，実数$a$に対して，$\left[a\right]$は$a$を超えない最大の整数を表す．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　$a\text{，}b$を実数とし，$2$つの式

(＊)　$\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=a\\ {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}y=b\end{array}$

を同時に満たす実数$x\text{，}y$が存在するかどうかを考える．ただし，$a>0$とする．

(a)　上の(＊)の$2$つの式を同時に満たす$x\text{，}y$が存在するとき，

$\sin x\cos y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{a}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{\displaystyle \frac{b}{a}}$

が成り立つ．

(b)　上の(＊)の$2$つの式を同時に満たす$x\text{，}y$が存在するための必要十分条件は，$a\text{，}b$が不等式

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{a}^3\leqq b\leqq \boxed{\text{キ}}{a}^3-\boxed{\text{ク}}{a}^2+\boxed{\text{ケ}}a\text{，}0<a\leqq \boxed{\text{コ}}$

を満たすことである．

(c)　$x\text{，}y$が上の(＊)の$2$つの式を同時に満たし，さらに$\sin x\cos y={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすとき，$a\text{，}b$はつねに等式$b=\boxed{\text{サ}}{a}^3-\boxed{\text{シ}}a$を満たす．ここで，$a$のとりうる値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ソ}}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$2x^2-2xy+y^2=5$上の点$(1,3)$における接線の方程式を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　放物線$y=2x-x^2$と$x$軸で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で，$A$によって表わされる座標平面上の移動（$1$次変換）$f$が$2$条件

・すべての$x\text{，}y$に対し，点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像を${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$とすれば，点${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$の$f$による像は$\mathrm{P}(x,y)$である

・点$(x,y)$が直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$もつねに直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$上にある

を満たすようなものを考える．ただし，$a\geqq 0$とする．

(1)　$a=1$のとき，そのような行列$A$をすべて求めなさい．

(2)　$a\ne 1$のとき，行列$A$の成分$b\text{，}c\text{，}d$をそれぞれ$a$を用いて表しなさい．

(3)　$a\ne 1$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像が$\mathrm{P}(x,y)$自身であるとき，$y$を$x\text{，}a$を用いて表しなさい．