2010　東京理科大学　工学部第二部B方式3月6日実施MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$y=\sqrt{2x+1}$上の点$(4,3)$における接線の方程式は

$x-\boxed{\text{ア}}y+\boxed{\text{イ}}=0$

である．

(2)　曲線$y=x^3-3x$と直線$y=2$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

【２】　$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x-\sin x+\cos x+1$とし，$t=\sin x-\cos x$とする．$x$が$0\leqq x<2\pi$の範囲を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$t$は$-\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\leqq t\leqq \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$の範囲を動く．

(2)　$y$を$t$で表すと

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{t}^2-\boxed{\text{オ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

(3)　$y$は$x=\boxed{\text{ク}}$および$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$のとき最大値$\boxed{\text{サ}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\pi$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}-\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$をとる．

【３】　$x$に関する$2$次方程式$7x^2-(k+13)x+k^2-k-2=0$は$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつとする．ただし，$k$は実数の定数とする．不等式$0<\alpha <1\text{，}1<\beta <2$が成り立つとき，$k$のとりうる値の範囲は

$-\boxed{\text{ア}}<k<-\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}<k\boxed{\text{エ}}$

である．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{OC}=3\text{，}\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=60\mathrm{°}$

を満たしている以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{C}$から$▵\mathrm{OAB}$に下ろした垂線と$▵\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{CH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{キ}}\times \sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

【５】　一般項が$a_n=[\sqrt{n}]\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．例えば，$[2.6]=2\text{，}[1]=1$である．

(1)　$a_{10}=\boxed{\text{ア}}\text{，}{a}_{50}=\boxed{\text{イ}}\text{，}{a}_{100}=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$である．

(2)　$a_n=10$となる項$a_n$の個数は$\boxed{\text{オ}\text{カ}}$である．

(3)　自然数$m$に対して，$a_n=m$となる項$a_n$の個数は$\boxed{\text{キ}}\cdot m+\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{121}}{a}_k=\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}$である．