2010　立命館大　理系学部Ａ方式2月7日実施MathJax

【１】　$a\text{，}v$を定数とし，$a>0$であるとする．平面上を動く$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を考える．時刻$t$での点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+2)$であるとする．時刻$t$での点$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),g(t))$と表すとき，$t$の関数$f(t)\text{，}g(t)$は第$2$次導関数をもつものとし，時刻$0$で点$(0,1)$を通り，その時刻における速度ベクトルは$(0,v)$であるとする．さらに，点$\mathrm{Q}$の加速度ベクトルは，つねに$(a,-9)$であるとする．このとき，ある時刻$T$に，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ点を同じ向きの速度ベクトルで通るように$a\text{，}v$を定めよう．

(1)　まず，$f(t)\text{，}g(t)$は関係式

$\begin{array}{lll}{f}^{″}(t)=a\text{，}& f^{\prime }(0)=0\text{，}& f(0)=0\\ g^{″}(t)=-9\text{，}& g^{\prime }(0)=v\text{，}& g(0)=1\end{array}$

を満たすので，$f(t)=\boxed{\text{ア}}\text{，}g(t)=\boxed{\text{イ}}$となる．

(2)　ある時刻$T$で$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ点を通ることは，$T\text{，}v$が$a$を用いて$T=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$および，$v=\boxed{\text{エ}}$と書き表せることと同値である．この時刻$T$での点$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$a$だけ表すと$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$となり，時刻$T$での点$\mathrm{Q}$の速度ベクトルを$a$だけで表すと$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$となる．この二つのベクトルが同じ向きであることは，$a=\boxed{\text{ケ}}$と同値であり，このとき，$v=\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　$p$を正の整数とする．$2$次方程式

$x^2-px+q=0$

の解がいずれも$0$以上の整数となるような整数$q$全体の集合を$\mathrm{Q}(p)$とする．

(1)　まず，$q\in \mathrm{Q}(p)$であるための必要十分条件は，ある整数$\alpha \text{，}\beta \text{（}0\leqq \alpha \leqq \beta \text{）}$が$\alpha +\beta =\boxed{\text{サ}}\text{，}\alpha \beta =\boxed{\text{シ}}$をみたすことであるから，$\mathrm{Q}(3)$を，要素を書き並べて表すと$\{\boxed{\text{ス}}\}$となる．同様に，$\mathrm{Q}(4)$を，要素を書き並べて表すと$\{\boxed{\text{セ}}\}$となる．

(2)　一般に集合$\mathrm{Q}(p)$の要素の個数を$N(p)$と書くと，$p$が奇数のときは

$N(p)=\boxed{\text{ソ}}\text{，}$

$p$が偶数のときは

$N(p)=\boxed{\text{タ}}$

となる．さらに，$\mathrm{Q}(p)$のすべての要素の和を$S(p)$と書くと，$p$が奇数のときは

$S(p)=\boxed{\text{チ}}\text{，}$

$p$が偶数のときは

$S(p)=\boxed{\text{ツ}}$

となり，いずれも$p$についての$3$次の多項式である．

　以上のことから

$\underset{p\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(p)}{p^3}}=\boxed{\text{テ}}$

となる．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，$a<1$とする．$x$についての$3$次式

$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$

を考える．このとき，$3$次方程式$f(x)=0$が$0<x<1$の範囲で少なくとも$1$つの実数解を持つような$a\text{，}b$を考えよう．

(1)　まず，$f(x)$を$x$で微分すると

$f^{\prime }(x)=6(x-\boxed{\text{ト}})(x-\boxed{\text{ナ}})$

となり，$f(x)$は$x=\boxed{\text{ナ}}$において極大値をとる．

(2)　$x_0=\boxed{\text{ナ}}$とおく．すると$3$次方程式$f(x)=0$が$0<x<1$なる実数解をもつのは，次のいずれかの場合であることがわかる．

(ⅰ)　$f(0)f(1)<0$となる場合

(ⅱ)　$0<x_0<1$かつ$f(x_0)\geqq 0$かつ$f(0)\leqq 0$かつ$f(1)\leqq 0$（ただし$f(0)=f(1)=0$となる場合を除く）のすべての条件を満たす場合

(a)　(ⅰ)の場合，$0<x<1$なる実数解はちょうど$\boxed{\text{ニ}}$個存在する．特に，$f(0)<0$かつ$f(1)>0$の場合，この条件を成立させるような$a\text{，}b$を考えよう．その$a\text{，}b$に対応する座標平面上の点$(a,b)$のなす領域に境界線を含めた図形の面積は$\boxed{\text{ヌ}}$となる．

(b)　次に，(ⅱ)の場合，$f(x)$についての条件を，$a\text{，}b$についての条件として表すと

$0<\boxed{\text{ナ}}<1\text{かつ}\boxed{\text{ネ}}\geqq 0$

かつ$\boxed{\text{ノ}}\leqq 0\text{かつ}\boxed{\text{ハ}}\leqq 0$

（ただし$\boxed{\text{ノ}}=\boxed{\text{ハ}}=0$となる場合を除く）

となる．この条件を満たす$a\text{，}b$を考えよう．その$a\text{，}b$に対応する座標平面上の点$(a,b)$のなす領域に境界線を含めた図形の面積は$\boxed{\text{ヒ}}$となる．なお，$f(x_0)>0$かつ$f(0)f(1)>0$の場合，$0<x<1$なる実数解はちょうど$\boxed{\text{フ}}$個存在する．

【４】　$a\text{，}r\text{，}t$を正の実数とし，座標平面上で$x\text{，}y$の不等式$x^2+y^2<r^2$の表す領域$D$と，点${\mathrm{P}}_0(0,t)$を考える．$k$を$2$以上の整数とし，行列

$\left(\begin{array}{cc}ar\cos {\displaystyle \frac{\pi }{k}}& -ar\sin {\displaystyle \frac{\pi }{k}}\\ ar\sin {\displaystyle \frac{\pi }{k}}& ar\cos {\displaystyle \frac{\pi }{k}}\end{array}\right)$

で表わされる$1$次変換を$l$回（$l=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）繰り返して行うことによって点${\mathrm{P}}_0$が移される点を${\mathrm{P}}_l$とする．

(1)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$とするとき，${\mathrm{P}}_n$の座標は$(\boxed{\text{ヘ}},\boxed{\text{ホ}})$となり，$r={\displaystyle \frac{1}{a}}$のとき，どの$n$についても${\mathrm{P}}_n\notin D$となるための必要十分条件は，$t$と$r$を使って$\boxed{\text{マ}}$と表すことができる．

(2)　次に$r\ne {\displaystyle \frac{1}{a}}$のとき，

${\mathrm{P}}_n\notin D\text{かつ}{\mathrm{P}}_{n+1}\notin D\text{かつ}n\geqq 0\cdots \text{①}$

となるような$n$が存在するための必要十分条件は，$0<r<\boxed{\text{ミ}}$かつ$t\geqq \boxed{\text{ム}}$である．このとき，$\text{①}$を満たす$n$の値は$a$を底とする対数を使って

$n=\left[{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{1+{\log }_{a}r}}\right]\cdots \text{②}$

と表せる．ただし，実数$u$について$m\leqq u<m+1$を満たす整数$m$を$[u]$と表す．

　今，$t=2\times \boxed{\text{ム}}$としよう．このとき，$\text{②}$で定まった$n$について，${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_n$の$x$座標がつねに$0$または負になるための必要十分条件は

$k\geqq \left[{\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{1+{\log }_{a}r}}\right]$

である．