2010　立命館大　理系学部Ａ方式2月8日実施MathJax

【１】　曲線

$y=x^3\cdots \text{①}$

を考える．

　曲線$\text{①}$上の$x$座標が$x_n\text{（}{x}_n\ne 0\text{）}$の点$(x_n,{x_n}^3)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$x_{n+1}$とする．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．この手順を繰り返して数列$\{x_n\}$を定義する．

(1)　曲線$\text{①}$上の点$(-1,-1)$における接線の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}$

である．

(2)　$x_1=-1$とすると，$x_2=\boxed{\text{イ}}$となる．このとき，数列$\{x_n\}$の一般項を求める．曲線$\text{①}$上の点$(x_n,{x_n}^3)$における接線$l_n$の方程式は$x_n$を用いて

$y=\boxed{\text{ウ}}$

と表せ，$x_{n+1}$は$x_n$を用いて$x_{n+1}=\boxed{\text{エ}}$となる．したがって，数列$\{x_n\}$の一般項は，$x_n=\boxed{\text{オ}}$である．また，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\boxed{\text{カ}}$

である．

(3)　接線$l_n$と曲線$\text{①}$で囲まれた部分の面積$S_n$は$x_n$を用いて表すと，$S_n=\boxed{\text{キ}}$となる．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{S}_i={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{260}}$

である．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

　ただし，$\boxed{\text{ケ}}\text{〜}\boxed{\text{ト}}$には$\alpha \text{，}\beta$を用いない式，または数値を記せ．

(1)　異なる実数$\alpha \text{，}\beta$に対して，

$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}1\\ x\end{array}\right)=\beta \left(\begin{array}{c}1\\ x\end{array}\right)$

となるとき，

$x=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{コ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{サ}}$

である．

(2)　次式のように行列$A$を用いて定まる$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を考える．

$\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき

$a_3=\boxed{\text{シ}}\text{，}{b}_3=\boxed{\text{ス}}$

である．

(3)　(1)より

$A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\boxed{\text{セ}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}{A}^n\left(\begin{array}{c}1\\ \boxed{\text{ケ}}\end{array}\right)=\boxed{\text{ソ}}\left(\begin{array}{c}1\\ \boxed{\text{ケ}}\end{array}\right)$

となる．また，

$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right)=\boxed{\text{タ}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+\boxed{\text{チ}}\left(\begin{array}{c}1\\ \boxed{\text{ケ}}\end{array}\right)$

と表わされることより，$a_n$および$b_n$の一般項は，

$a_n=\boxed{\text{ツ}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{テ}}$

であり，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=\boxed{\text{ト}}$

となる．

【３】　曲線

$x^2+y^2-4|y|-5=0\cdots \text{①}$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　曲線$\text{①}$は，$2$点で交わる$2$つの円の一部を表している．$2$つの円は，中心の座標が$\boxed{\text{ナ}}$と$\boxed{\text{ニ}}$で半径がともに$\boxed{\text{ヌ}}$である．それらの円の交点の座標は$\boxed{\text{ネ}}$と$\boxed{\text{ノ}}$である．

(2)　直線

$kx+y=9\text{（}k>0\text{）}\cdots \text{②}$

がある．曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$が共有点をもつときの$k$の最小値は$\boxed{\text{ハ}}$である．また，曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$が共有点を$4$個もつときの，$k$の範囲は

$\boxed{\text{ヒ}}<k<\boxed{\text{フ}}$

である．

(3)　次の連立不等式の表す領域を$S$とする．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4|y|-5\leqq 0\\ y\geqq 0\end{array}$

　この$S$内で直線$\text{①}$と$x$軸とに接する円$C$の中心$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を考える．$\boxed{\text{ナ}}$と$\boxed{\text{ニ}}$のうちで，$S$内の点を$\mathrm{A}$とする．円$C$は$x$軸と接することから，その半径$r$は$r=\boxed{\text{ヘ}}$と表せ，さらに円$C$は曲線$\text{①}$に接することから，線分$\mathrm{AP}$の長さは$y$を用いて$\boxed{\text{ホ}}$と表わされる．これらのことから，軌跡の方程式は$y=\boxed{\text{マ}}$となる．

【４】　曲線$C:x^2+xy+y^2=1$は式の形より原点$\mathrm{O}$について対称であることがわかる．曲線$C$上の任意の点$\mathrm{P}(s,t)$を原点$\mathrm{O}$の回りに角$\alpha$だけ回転した点を$\mathrm{R}(x,y)$とし，点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$\mathrm{R}$の軌跡を求めることにする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}(s,t)$は，点$\mathrm{R}(x,y)$を原点$\mathrm{O}$の回りに角$-\alpha$だけ回転した点であると考えられるので，$s\text{，}t$を，$x\text{，}y\text{，}\alpha$を用いて表すと，次のようになる．

$s=\boxed{\text{ミ}}\cdots \text{①}$

$t=\boxed{\text{ム}}\cdots \text{②}$

(2)　$\mathrm{P}(s,t)$は曲線$C$上の点だから，$s\text{，}t$の関係式

$\boxed{\text{メ}}=1\cdots \text{③}$

が成り立つ．

　$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}$から$x\text{，}y$の関係式は

$(1-{\displaystyle \frac{\sin 2\alpha }{2}})x^2+(\boxed{\text{モ}})xy+(\boxed{\text{ヤ}})y^2=1\cdots \text{④}$

となる．ただし，$\boxed{\text{モ}}\text{，}\boxed{\text{ヤ}}$は$\sin 2\alpha \text{，}$または$\cos 2\alpha$を用いて表すものとする．

　ここで$\boxed{\text{モ}}$の値を$0$にする$\alpha$の値を求めると，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より，$\alpha =\boxed{\text{ユ}}$である．これを$\text{④}$に代入すると

$\boxed{\text{ヨ}}{x}^2+\boxed{\text{ラ}}{y}^2=1$

となる．

　以上のことから，曲線$C$は楕円であって，中心が原点，長軸が直線$y=\boxed{\text{リ}}$上にあり，その長さは$\boxed{\text{ル}}\text{，}$短軸は直線$y=\boxed{\text{レ}}$上にあり，その長さは$\boxed{\text{ロ}}$であることがわかる．