2010　福岡大学　理・工・医学部前期

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$次方程式$x^3-a{x}^2+bx+a-6=0$が$x=1$を$2$重解にもつとき，定数$a\text{，}b$の値を求めると$(a,b)=\boxed{\text{(1)}}$である．また，実数解が$x=1$のみで，他の$2$つの解が虚数解となるような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\tan \theta =3$のとき，$\cos 2\theta$の値は$\boxed{\text{(3)}}$である．不等式${\log }_{\frac{2}{3}}(x+2)\geqq -2+{\log }_{\frac{2}{3}}x$を解くと，$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$から$10$までの数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．これら$10$枚のカードを偶数と奇数が交互に並ぶように机の上に並べたい．このとき，カードを$1$列に並べる順列の総数は$\boxed{\text{(5)}}$通りあり，円形に並べる順列の総数は$\boxed{\text{(6)}}$通りある．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　第$10$項が$39\text{，}$第$30$項が$-41$である等差数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{(1)}}$である．また，この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$の最大値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{OM}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}}=\boxed{\text{(3)}}$である．また，三角形$\mathrm{OCM}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{BDM}$の面積を$S_2$とすると${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　関数$f(x)=x\sqrt{x+2}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(2,f(2))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線と曲線$C$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　不等式$(x^2+y^2-1)\{{(x-{\displaystyle \frac{7}{2}})}^2+y^2-1\}\leqq 0$の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{(3)}}$であり，$x^2+2xy+y^2-4x-4y+5$の最小値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)=x+1-x{e}^{-x}\text{，}g(x)=x+1$とする．定数$a\text{（}a>2\text{）}$に対して，曲線$C\text{：}y=f(x)$と直線$l\text{：}y=g(x)$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(a,g(a))$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線と直線$l$の共有点を$\mathrm{P}(p,g(p))$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の$x$座標$p$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　曲線$C$と直線$l$および$2$直線$x=a\text{，}x=p$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$T(a)$とするとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{T(a)}}$を求めよ．