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2011-10601-0201
2011 神戸大学 後期
経済学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とし, f⁡( x)= x2- 2⁢x+ 2, g⁡( x)= -x2 +a⁢x +a とする.以下の問に答えよ.
(1) すべての実数 s , t に対して f⁡ (s) ≧g⁡ (t ) が成り立つような, a の値の範囲を求めよ.
(2) 0≦x≦ 1 をみたすすべての x に対して f⁡ (x) ≧g⁡ (x ) が成り立つような, a の値の範囲を求めよ.
2011-10601-0202
【2】 四面体 O ‐ABC で ∠AOB= ∠BOC= ∠COA= θ< π2 とし, ▵ABC の重心を G とする. a→ =OA→ , b→ =OB → ,c →= OC→ とおく.以下の問に答えよ.
(1) | a→ |= | b→ |= | c→ | のとき, 3 点 A , B ,C を含む平面と直線 OG は垂直に交わることを示せ.
(2) 3 点 A , B ,C を含む平面と直線 OG が垂直に交わるとき, | a→ |= | b→ |= | c→ | であることを示せ.
2011-10601-0203
経済学部・理科系共通
【3】 以下の問に答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x) =x3 -3⁢x 2-3⁢ x-1 の増減を調べよ.また, x≧0 における関数 f ⁡(x ) の最小値を求めよ.
(2) x≧4 をみたすすべての実数 x に対して, x3> 3⁢x 2+3 ⁢x+1 が成り立つことを示せ.
(3) m≧10 をみたすすべての自然数 m に対して, 2m> m3 が成り立つことを数学的帰納法で示せ.ただし,(2)の結果を用いてよい.
2011-10601-0204
理科系
配点30点
【1】 関数 f⁡ (x) =log⁡ (x 2+4 )- x 28 について,以下の問に答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x ) の最大値を求めよ.
(2) (1)で求めた関数 f⁡ (x ) の最大値を M とする.曲線 y= f⁡( x) と直線 y =M で囲まれた図形の面積を求めよ.
2011-10601-0205
【2】 a を 0 でない実数とする.自然数 n に対して,
In= ∫ (n -1) ⁢π n⁢π ⁡e a⁢x ⁢sin⁡ x⁢dx , Sn= ∑ k=1 n⁡ | Ik |
とおく.以下の問に答えよ.
(1) In を求めよ.
(2) Sn を求めよ.
(3) n→ ∞ のとき S n が収束するような a の値の範囲を求めよ.また, a がこの範囲の値をとるとき, lim n→∞ ⁡S n の値を求めよ.
2011-10601-0206
【3】 a ,b を互いに異なる 0 でない実数とし, xy 平面上の点 P0 の座標を ( a,b ) とする.行列
A=( 3 -2 2- 1)
の表す一次変換が点 P0 を点 P1 に,点 P1 を点 P2 に移すものとし,一般に点 Pn -1 を点 Pn ( n=1 , 2 , ⋯) に移すものとする.以下の問に答えよ.
(1) P n-1 P n→ を a と b を用いて表せ.
(2) 点 P0 , P1 , ⋯, Pn , ⋯ はすべて同一直線上にあることを示せ.また,この直線 l の方程式を求めよ.
(3) (2)で求めた直線 l と x 軸が交わる点を Q , 直線 l と y 軸が交わる点を R とするとき, P n=Q , P m=R となる 0 以上の整数 n , m の組は存在しないことを示せ.
2011-10601-0207
【4】 a ,b ,t を実数とし,
p⁡( x)= x2+ x+t
f⁡( x)= a⁢x+ b
g⁡( x)= ∫ 0x⁡ u⁢f⁡ (u) ⁢du
とする. x についての整式として g⁡ (x ) を p⁡( x) で割った余りを h⁡ (x ) と定める.以下の問に答えよ.
(1) h⁡( x)= c⁢x+ d と表すとき,等式
( cd )= A⁢( a b )
をみたす 2 次の正方行列 A を, t を用いて表せ.
(2) 行列 A -E が逆行列をもたないような t の値を求めよ.ただし, E を 2 次の単位行列とする.
2011-10601-0208
【5】 p≦q となる実数 p , q に対して, p≦x≦ q をみたす実数 x 全体の集合を [ p,q ] で表す.このとき, x∈[ p,q ] と p ≦x≦q は同値である. a ,b , c ,d を実数とする.以下の問に答えよ.
(1) x∈[ a,b ] かつ y ∈[ c,d ] ならば,
x+y∈ [a+ c,b+ d]
が成り立つことを示せ.
(2) x∈[ a,b ] かつ y ∈[ c,d ] ならば,
x-y∈ [a- d,b- c]
(3) 実数 p , q に対して,
min⁡ (p, q) ={ p ( p≦q のとき) q( p> q のとき) max⁡ (p,q )= {p ( p≧q のとき) q( p< q のとき)
と定める. a≧0 とするとき, x∈[ a,b ] かつ y ∈[ c,d ] ならば,
x⁢y∈ [min⁡ (a⁢ c,b⁢ c), max⁡( a⁢d, b⁢d) ]