2011　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$に対して

$f(x)=-2\log (\cos x)-{\displaystyle \frac{{\tan }^{2}x}{4}}$

とする．ただし，$\log$は自然対数とする．次の問いに答えよ．

問１　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲で，$f(x)>0$となることを示せ．

問２　積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\sin xdx$

の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}s\text{，}t$を実数とする．複素数$z=a+bi\text{，}w=c+di$は

$z^2=s+i$

$w^2=t+i$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

問１　$b^2$を$s$を用いて表せ．

問２　$s<t$のとき$\left|b\right|>\left|d\right|$を示せ．

【３】　座標平面内の$3$点$\mathrm{A}(1,a)\text{，}\mathrm{B}(1,b)\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$に，原点を中心とする半径$1$の円$O$が内接している．辺$\mathrm{AC}$と円$O$との接点を$\mathrm{P}(\cos t,\sin t)\text{，}$辺$\mathrm{BC}$と円$O$との接点を$\mathrm{Q}(\cos s,\sin s)$とする．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t<{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\text{，}\pi <s<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a$を$t$を用いて表し，$b$を$s$を用いて表せ．

問２　$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$を$s$と$t$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$のとき，$s$および$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．

問４　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$とする．$t$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t<{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$の範囲を動くとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$の最小値を求めよ．

【４】　$1$辺の長さが$r$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，正四面体とは各面が正三角形の四面体である．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$を示せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$を示せ．

問３　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$r$を用いて表せ．

問４　座標空間において，$\mathrm{A}$の座標が$(2,4,0)\text{，}\mathrm{B}$の座標が$(3,6,0)$であるとする．また，直線$\mathrm{CD}$が$x$軸と交わっているとする．直線$\mathrm{CD}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,0,0)$とするとき，$t$の値と点$\mathrm{Q}$の座標$(a,b,c)$を求めよ．

【５】　行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$

とする．次の問いに答えよ．

問１　$A$の逆行列を求めよ．

問２　実数$x\text{，}y\text{，}X\text{，}Y$が

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$

をみたすとき，$x^2-2y^2=X^2-2Y^2$となることを示せ．

問３　自然数からなる数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を関係式

$x_n+y_n\sqrt{2}={(3+2\sqrt{2})}^n$

により定めるとき，すべての自然数$n$に対して${x_n}^2-2{y_n}^2=1$となることを示せ．

問４　$x\text{，}y$は自然数で，$x^2-2y^2=1$をみたすとする．実数$X\text{，}Y$が

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$

をみたすとき，$Y$は整数で$y>Y\geqq 0$となることを示せ．

【３】　行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$

とする．次の問いに答えよ．

問１　実数$x\text{，}y\text{，}X\text{，}Y$が

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$

をみたすとき，$x^2-2y^2=X^2-2Y^2$となることを示せ．

問２　自然数からなる数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を関係式

$x_n+y_n\sqrt{2}={(3+2\sqrt{2})}^n$

により定めるとき，すべての自然数$n$に対して${x_n}^2-2{y_n}^2=1$となることを示せ．