2011　東北学院大学　前期分割文，経済，教養学部2月3日MathJax

【１】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{ADC}=\theta$とする．

$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=4\text{，}\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$

であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　対角線$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　円$O$の半径$R$を求めよ．

(ⅳ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

【２】　次の$2$つの$2$次不等式について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

$2x^2-3x-9>0\cdots$(1)

$(x-a)(x-a-2)\leqq 0\cdots$(2)

(ⅰ)　(1)，(2)の解をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　(1)，(2)を同時に満たす実数$x$は存在しないように，$a$の値の範囲を定めよ．

(ⅲ)　(2)を満たす整数$x$は$0$と$1$だけであるように，$a$の値の範囲を定めよ．

【３】　$0\leqq x\leqq \pi$とし，$t=\sin x+\cos x$とおくとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　関数$y={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【４】　次の等式を満たす関数$f(x)$と定数$C$の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt+{\displaystyle {\int }_0^1}{(x+t)}^2{f}^{\prime }(t)dt=x^2+C$

【５】　次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は整数とする．

(ⅰ)　$a^2+b^2+c^2$が偶数ならば，$a\text{，}b\text{，}c$のうち少なくとも$1$つは偶数である．

(ⅱ)　$a^2+b^2+c^2$が$4$の倍数ならば，$a\text{，}b\text{，}c$のうち少なくとも$1$つは$4$の倍数である．

(ⅲ)　$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$が奇数ならば，$a\text{，}b\text{，}c$のうち奇数の個数は$1$個または$2$個である．

【６】　等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_{10}=120\text{，}{S}_{20}=440$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　一般項$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　和$S=(a_1-a_2+a_3)+(a_4-a_5+a_6)+\cdots +(a_{148}-a_{149}+a_{150})$を求めよ．