2011　東北学院大学　後期文系3月4日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$のとき，$a+b$と$a^2+b^2$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$0\leqq t\leqq \sqrt{5}$のとき，関数$y=t^4-6t^2$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　不等式$x^2-5\leqq x+1<-2x+7$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　$x\text{，}y$は$0$でない実数で，$x^2+y^2=8\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=\sqrt{3}$のとき，$xy$の値を求めよ．

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\angle \mathrm{BAD}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{DA}=8\text{，}\mathrm{BC}=2+\mathrm{CD}$

とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　対角線$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【３】　$0\leqq \theta <2\pi$とする．$x$についての$2$次方程式$2x^2-4(\cos \theta )x-3\sin \theta =0$が実数解をもつような$\theta$の値の範囲を求めよ．またこの方程式が重解をもつとき，重解とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$が曲線$y=x^3+a{x}^2-(a+2)x-2a$上にあるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　関数$y=x^3+a{x}^2-(a+2)x-2a$の極値を求めよ．

【５】　$1$個のさいころを$1$回投げて，$4\text{，}5\text{，}6$の目が出ればその数を得点とし，$1\text{，}2\text{，}3$の目が出れば，もう$1$回さいころを投げて$1$回目に出た数と$2$回目に出た数の大きい方（両者が等しいときはその数）を得点とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　得点が$5$である確率を求めよ．

(ⅱ)　得点が$2$である確率を求めよ．

(ⅲ)　得点の期待値を求めよ．

【６】　数列

${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{n}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{n-1}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{，}\cdots$

について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　第$58$項を求めよ．

(ⅱ)　初項から第$58$項までの和を求めよ．