Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2011年度一覧へ
大学別一覧へ
理科大一覧へ
2011-13442-0201
2011 東京理科大学 理工学部B方式
情報科,工業化,機械工,土木工学科
2月4日実施
(2),(3)と合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から ヘ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 1 辺の長さが 1 の正方形を A 1 とし,その各辺の中点を頂点とする正方形を A2 , 同様に A 2 の各辺の中点を頂点とする正方形を A3 , 以下, Ak の各辺の中点を頂点とする正方形を A k+1 として,正方形の列 A1 ,A 2 ,A 3 ,⋯ を考える.
(ⅰ) A1 から A 8 までの正方形の周囲の長さの和は ア イ 4 ⁢ ( ウ + エ ) である.
(ⅱ) A1 から A 8 までの正方形の面積の和は オ カ キ ク ケ コ である.
2011-13442-0202
(1),(3)と合わせて配点40点
(2) 1 から 9 までの 9 個の数字を考える.これらの数字の中から異なる 5 個の数字を取り出して 5 桁の正の整数 m を作る.
(ⅰ) m が偶数である確率は サ シ である.
(ⅱ) m の 1 桁目, 3 桁目, 5 桁目の数字は偶数で, 2 桁目, 4 桁目の数字は奇数である確率は ス セ ソ である.なお, 1 桁目は一の位, 2 桁目は十の位, 3 桁目は百の位,…を表す.
(ⅲ) m が,奇数の数字と偶数の数字が交互に並んだ整数となる確率は タ チ ツ である.
(ⅳ) m が 89823 より大きい整数である確率は テ ト である.
2011-13442-0203
(1),(2)と合わせて配点40点
(3) a ,b を 0 でない実数として,行列
A=( 2 -a⁢b a 2 ), B=( 0 3- 1 3 0 ), E=( 10 01 )
を考える.
(ⅰ) A⁢B= B⁢A のとき b= ナ である.
(ⅱ) A3 が単位行列 E の実数倍になるのは, a2⁢ b= ニ ヌ のときであり,このとき,
A3= - ネ ノ ⁢ E
となる.
(ⅲ) A⁢B= B⁢A で A 3 が単位行列 E の実数倍であるとき,
(A +B) 3+ (A- B) 3=- ハ ヒ フ ⁢ E- ヘ ⁢A
2011-13442-0204
30点
【2】 定数 a ( a< 1 ),b ,c に対し,関数 f⁡ (x ) を
f⁡( x)= x3- (a+ 2)⁢ x2+ (2⁢ a+b) ⁢x-a +c
と定める.曲線 C: y=f⁡ (x ) は点 A (1 ,3) を通り,点 A において直線 l :y=2 ⁢x+1 と接しているとする.曲線 C と直線 l の共有点のうち,点 A と異なる点を B とする.
(1) b ,c の値を求めよ.
(2) 点 B の座標を a を用いて表せ.
(3) 曲線 C と直線 l で囲まれた部分の面積 S 1 を, a を用いて表せ.
(4) x が a< x<1 の範囲を動くとき, 3 点 P (x ,f⁡( x) ) ,A , B が作る三角形 PAB の面積の最大値を S 2 とする. S2 と,(3)で求めた面積 S 1 に対して, S 2S1 の値を求めよ.
2011-13442-0205
【3】 a ,b は 0< a<b を満たす正の実数として,定積分 I 1 ,I2 , I3 を
I1= ∫ ab⁡ sin⁡( x2) ⁢dx ,I2 = ∫ab ⁡ cos ⁡(x 2) x2 ⁢ dx ,I3 = ∫ab ⁡ sin ⁡(x 2) x4 ⁢d x
と定める.
(1) ∫ ab⁡ sin⁡( x2) ⁢dx= ∫ ab⁡ 12⁢x ⋅ 2⁢x⁢ sin⁡( x2) ⁢dx と変形してから部分積分法を利用することにより, I1+ 1 2⁢ I 2 の値を, a と b を用いて表せ.
(2) I2- 3 2⁢ I 3 の値を, a と b を用いて表せ.
(3) 正の整数 n に対して
Kn= ∫ 2⁢n⁢ π2⁢ (n+ 1)⁢ π⁡ sin⁡( x2) ⁢dx+ 34 ⁢ ∫ 2⁢n⁢ π2⁢ (n+ 1)⁢ π⁡ sin⁡( x2) x4 ⁢dx
と定めるとき,
limn→ ∞⁡ 2⁢n⁢ π⁢2 ⁢n⁢π ⁢Kn
の値を求めよ.