2011　東京理科大学　理B2月12日MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表す．また，分数は既約分数を表すものとする．

　$1$個のサイコロを$3$回投げ，$1$回目に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b\text{，}3$回目に出た目を$c$とする．この操作に整数$n=a\times {10}^2+b\times 10+c$を対応させる．

(1)　$n$が奇数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$n$が$3$の倍数になるためには$a+b+c$が$3$で割り切れることが必要十分条件であるから，$n$が$3$の倍数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(3)　$n$が$7$の倍数になるためには$2a+3b+c$が$7$で割り切れることが必要十分条件であるから，$n$が$7$の倍数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}$である．

(4)　$n$が$11$で割り切れる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}$である．

【２】　$a$を正の実数とし，$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$を考える．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$における$C$の法線を$l$とし，$l$と$C$の交点で$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．

(a)　法線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(b)　$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(c)　$a$が正の実数を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる$a$の値を求めよ．

(2)　放物線$C$上の点$\mathrm{R}$における$C$の法線を$l_{\mathrm{R}}$とする．

(a)　法線$l_{\mathrm{R}}$が点$\mathrm{P}$を通るような点$\mathrm{R}\text{（}\mathrm{R}\ne \mathrm{P}\text{）}$を考える．このような$\mathrm{R}$が$2$個あるための$a$の条件を求めよ．

(b)　(a)で考えた条件をみたす$2$個の$\mathrm{R}$を${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2$とするとき，$▵\mathrm{P}{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2$の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，$2$つの曲線

$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

$C_2:y={\displaystyle \frac{1}{tx}}$

が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっているとする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．曲線$C_1$と線分$\mathrm{OP}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)\text{，}$曲線$C_2$と線分$\mathrm{OP}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$t=2$とし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$2\sin \alpha \text{，}2\sin \beta (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．

(a)　加法定理を利用して$\beta -\alpha$を求めよ．

(b)　$S_1(2)$を求めよ．

(c)　$S_2(2)$を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．