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2011-13442-1501
2011 東京理科大学 理学部第二部
3月4日実施
配点12点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内の 1 つのアからニにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.
自然数 n に対して, a=2 20⁢n 2+40 ⁢n+8 ,c= 212⁢ n2+ 24⁢n+ 5 とし, b を a3+ b4= c5 を満たす正の実数とする.このとき
b4= 2 ア イ ⁢ n2+ ウ エ オ ⁢ n+ カ キ
である.また, A を実数とし, k=A⁢ log2⁡ a-4⁢ log2⁡ b-5⁢ log2⁡ c とおくと
k= ( ク ケ ⁢ A- コ サ シ )⁢ n2+ ( ス セ ⁢ A - ソ タ チ ) ⁢n+( ツ ⁢A - テ ト )
となる.よって, k が n に依存しないとすると, A= (p) ナ であり,このとき k = (q) ニ である.
2011-13442-1502
配点15点
【2】 次の 内の 1 つのヌからモにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.
(1) a1= 1, an+1 =3⁢ an+ 4 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) によって定められる数列 { an } の一般項は
an= ヌ n- ネ
である.
(2) a1= 1 ,an +1= 7⁢an 4⁢ an+ 1 (n =1 ,2 ,3 ,⋯) によって定められる数列 { an } の一般項を求める. bn= 1 an , cc= bn- ノ ハ とおくと,数列 { cn } は初項 ヒ フ , 公比 ヘ ホ の等比数列である.よって
an= マ ⋅ ミ n-1 ム + メ ⋅ モ n-1
2011-13442-1503
【3】 次の 内の 1 つのヤからワにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.
「 4 つの選択肢の中からただ 1 つの正解を選ぶ」という問題が 5 問あるとする.このとき,次の問に答えなさい.
(1) 全くでたらめに答えて, 5 問中少なくとも 4 問正解する確率は ヤ ユ ヨ である.
(2) 5 問正解であれば 10 点, 4 問正解であれば 6 点, 3 問正解であれば 3 点,それ以外は 0 点であるとする.全くでたらめに答えたときの点数の期待値は ラ リ ル レ ロ ワ である.
2011-13442-1504
配点20点
【4】 次の 内の 1 つのあからこにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.また, 内の(r)と(s)にあてはまる正負の記号をマークしなさい.
(1) 関数 f⁡ (x) =2 3+ ∫1x ⁡( 2⁢t2 -8⁢t +6)⁢ dt について,次の問に答えなさい.
(a) f⁡( 6)= あ い である.
(b) f⁡( x) の導関数 f ′⁡ (x ) は
f′⁡ (x) = う ⁢ x2- え ⁢ x+ お
(c) 区間 0≦ x≦3 における関数 f⁡ (x ) の最大値は (r) ⁡ か き , 最小値は (s) ⁡ く である.
(2) a>0 とする.関数 g⁡ (x ) を,
g⁡( x)= 23 ⁢ a+ ∫a x⁡( 2⁢t2 -8⁢a ⁢t+6 ⁢a2 )⁢d ⁢t
により定める.区間 0≦ x≦3⁢ a における関数 g⁡ (x) の最小値が 0 であるとすると, a= け こ である.
2011-13442-1505
【5】 次の 内の 1 つのさからねにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.
m>0 とし,円 (x- 3) 2+ (y- 5) 2=11 を C 1 , 直線 x- y-m= 0 を l とする.次の問に答えなさい.
(1) 原点 O から C 1 に引いた 1 つの接線の接点を Q とする.線分 OQ の長さは さ し である.
(2) C1 と l が接するとき, m= す せ - そ である.
(3) t を正の実数とし,円 x 2+y 2=1 を C 2 とする. P から C 1 に引いた 1 つの接線の接点を Q1 , P から C 2 に引いた 1 つの接線の接点を Q 2 とするとき,線分 P Q1 と線分 P Q2 の長さの比が t :1 となるような点 P の軌跡を C 3 とする. C3 が点 ( 1,1 ) を通るとき, t= た であり,このとき, C3 は
中心 ( - ち つ , - て と ) ,半径 な に ぬ ね
の円である.
2011-13442-1506
(1)と合わせて25点
【6】 次の 内の 1 つののかられにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行あるその数をにマークしなさい.なお, あ などが 2 度現れる場合, 2 度目は あ などのように網掛けで表記する.
1 辺の長さが 2 の正四面体を OABC とする.辺 OA の中点を P , 辺 OB の中点を Q とし,辺 OC を a :(1 -a) (ただし, 0<a <1 )に内分する点を R とする.辺 QR の長さを l とおくと
l2= の ⁢ a2- は ⁢ a+ ひ ⋯ (1)
である. ∠PRQ を θ とおくと
sin⁡θ = ふ ⁢ l2- へ ほ ⁢ l2
である.したがって,三角形 PQR の面積を S とおくと,
S= ま み ⁢ ふ ⁢ l2- へ
である.よって,(1)を用いて,
S2= む ⁢ a2- め も ⁢a + や ゆ よ
となる.したがって, a が 0< a<1 の範囲を動くとき,三角形 PQR の面積 S の最小値は ら り であり,最小値を与える a の値は a = る れ である.