2011　立命館大　理系Ａ2月2日MathJax

$A=\left(\begin{array}{cc}2a& -a\\ \boxed{\text{ア}}& \boxed{\text{イ}}\end{array}\right)$

は$A^2=E$を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

　座標平面において，$\mathrm{P}$を，直線$y=mx$上にある，原点と異なる$1$点とする．行列$A$の表す$1$次変換により，$\mathrm{P}$が直線$y=mx$上の点に移されるのは，$m=\boxed{\text{ウ}}$または$m=\boxed{\text{エ}}$のときである．

　直線$y=\boxed{\text{ウ}}x$と直線$y=\boxed{\text{エ}}x$が直交するのは，$a=\boxed{\text{オ}}$のときであり，このとき，行列$A$の表す$1$次変換は，直線$y=\boxed{\text{カ}}x$に関する対称移動である．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\{{(\log x)}^n-\log x^n\}$

を考える．

(1)　$n$の値にかかわらず，$x=\boxed{\text{キ}}$は方程式$f(x)=0$の解である．方程式$f(x)=0$のその他の解を$n$を用いて表すと，$n$が偶数のときは，$x=e^{\boxed{\text{ク}}}$であり，$n$が奇数のときは，$x=e^{\boxed{\text{ク}}}$と$x=e^{\boxed{\text{ケ}}}$である．関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{コ}}$で極小値$\boxed{\text{サ}}$をとる．また，とくに$n$が奇数ならば，$x=\boxed{\text{シ}}$で極大値$\boxed{\text{ス}}$をとる．

(2)　$n$を奇数とする．座標平面において，曲線$y=f(x)$の，点$(e^{\boxed{\text{ク}}},0)$における接線と，点$(e^{\boxed{\text{ケ}}},0)$における接線の交点は$(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$であり，点$(e^{\boxed{\text{ク}}},0)$における法線と，点$(e^{\boxed{\text{ケ}}},0)$における法線の交点の$y$座標は$\boxed{\text{タ}}$である．

$a{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{2a}}=1$

に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

　$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はともに，直線$\boxed{\text{チ}}x+\boxed{\text{ツ}}y=1$の上にある．線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{M}$の座標は$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$であり，$\mathrm{M}$は直線$y=\boxed{\text{ナ}}x$上にある．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{PR}$の長さが等しくなるのは$a=\boxed{\text{ニ}}$のときである．

　$\mathrm{O}$を原点とする．$▵\mathrm{PQR}$の面積$S_1$と$▵\mathrm{OQR}$の面積$S_2$の比${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を$a$を用いて表すと，

${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}=\boxed{\text{ヌ}}$

である．$a>0$の範囲で$a$を変化させると，比${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$は$a=\boxed{\text{ネ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ノ}}$をとる．

(1)　記録された数の値$X$が偶数である確率は$\boxed{\text{ハ}}$である．$X$が$2$でも$5$でも割り切れない確率は$\boxed{\text{ヒ}}$であり，$X$が$10$で割り切れる確率は$\boxed{\text{フ}}$である．

(2)　記録され得る数字の並び方のうち，和が$9n-2$になるのは$\boxed{\text{ヘ}}$通りある．

　$n=3$のとき，記録され得る数字の並び方のうち，和が$25$以上になるのは$\boxed{\text{ホ}}$通りであり，記録された数の和が$24$以下である確率は$\boxed{\text{マ}}$である．