2012　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヒ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$a$を実数とするとき，方程式

$|x|-|x^2-4|+|x+6|=a$

を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は

$a<\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}<a<\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$

であり，実数解を持たないための条件は

$a>\boxed{\text{オ}\text{カ}}$

である．また，次の不等式

$|x|-|x^2-4|+|x+6|>2$

には，正の整数解が$\boxed{\text{キ}}$個，負の整数解が$\boxed{\text{ク}}$個ある．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヒ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　空間内に点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が

$\left|\overrightarrow{a}\right|=9\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=12\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{42}\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=72\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=57\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=48$

であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．ベクトル

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{チ}\text{ツ}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヒ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．なお，$\boxed{\text{テ}}$などは既出の$\boxed{\text{テ}}$を表す．

(3)　三角関数についての等式

$\boxed{\text{テ}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{ト}}\cos \theta -\cos 3\theta =0$

を利用して，$t$に関する$3$次方程式

$\boxed{\text{テ}}{t}^3-\boxed{\text{ト}}t-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=0$

を解いたとき，$\cos {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は

$\cos {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{12}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

と

$\cos {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

となる．これより，

$\tan {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{12}}\pi =\boxed{\text{ハ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$

となる．

【２】　$a$を正の定数とし，座標平面において放物線$C:y=a{x}^2$上の点$\mathrm{P}(t,a{t}^2)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を満たし，その$x$座標が$\mathrm{R}$の$x$座標より大きいものとする．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り$l$と直交する直線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　直線$l$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,r)$とするとき，$q\text{，}r$を$t$と$a$を用いて表せ．

(4)　(3)の$q\text{，}r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，${\displaystyle \frac{q}{t}}\text{，}{\displaystyle \frac{r}{t^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{r}{q^2}}$の極限値をそれぞれ求めよ．

【３】　自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}\text{（}x>0\text{）}$

で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x\leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,0)\text{，}(t,0)\text{，}(t,f_n(t))\text{，}(1,f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)　関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．

(2)　$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．

(3)　$S_1(t)$と$S_n(t)\text{（}n\geqq 2\text{）}$を求めよ．

(4)　各$n\geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t\text{（}t>1\text{）}$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$となることを用いてもよい．