2012　東京理科大学　理学部数理情報学科2月13日実施MathJax

【１】

(1)　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$は，それぞれ，既出の$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$を表す．

　$k$を自然数とすると，不等式

$k>{\displaystyle \frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2}}$

が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\boxed{\text{ア}}(\sqrt{k}-\sqrt{k-\boxed{\text{イ}}})$であるから，不等式

${\displaystyle \frac{1}{k}}<\boxed{\text{ア}}(\sqrt{k}-\sqrt{k-\boxed{\text{イ}}})$

を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}=\boxed{\text{ウ}}$

であることがわかる．

【１】

(2)　自然数$n$に対し，

$a_n={\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{m(m+n+1)}}\text{，}{s}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}$

と定める．

(a)　${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$を求めよ．

(b)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}({\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})s_{n+1}$を求めよ．

（ヒント：$n\geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，(a)の結果が使える形に変形せよ．）

(c)　$n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }}({\displaystyle \frac{1}{m}}-{\displaystyle \frac{1}{m+n+1}})=s_p$

が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．

(d)　$n$を自然数とし，$p$は(c)における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式

$a_n={\displaystyle \frac{s_p}{q}}$

が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．

(e)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{n}}$を求めよ．

【２】　$a$を実数とし，関数$f(x)=x^3+3a{x}^2+(3a^2-a)x$について考える．方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする．$f(0)=0$であることに注意せよ．

(1)　$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$k=2$となるような$a$の値を求めよ．

(3)　$k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$a$は(3)で求めた範囲にあるとする．方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha \text{，}\beta$とおく．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(a)　$\alpha <0$であることを示せ．

(b)　$\alpha <\beta <0$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

(c)　$\alpha <0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)　関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(6)　$a$が(5)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく．$a$が(5)で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と，最大値を与える$a$の値を求めよ．