2012　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$がある．

　このとき，$\sin A$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

　さらに，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$4$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　関数$y=|x^2-2x|+1\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$において，極大値は$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき，$y=\boxed{\text{エ}}$である．

　また，曲線$y=|x^2-2x|+1\text{（}0\leqq x\leqq 3$），$x$軸，$y$軸，直線$x=3$で囲まれる図形の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(3)　$x$についての方程式${\log }_x(x+2)=2$の解は$\boxed{\text{カ}}$である．

　$x$についての不等式${\log }_x(x+2)>2$の解は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(4)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CA}=5$である．

　点$\mathrm{P}$が$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+x\overrightarrow{\mathrm{PB}}+y\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$によって定められ，実数$x\text{，}y$が条件$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+y=1$を満たしながら変化する．

　このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}x$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\{(\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(\boxed{\text{ケ}})\overrightarrow{\mathrm{AC}}\}$

となる．

　また，点$\mathrm{P}$の描く線分の長さは$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$xy$平面上において，$2$つの放物線

$C_1:y=x^2-2x-8$

$C_2:y=-x^2+2(a+1)x-a^2-2a+b+8$

を考える．ここで，$a\text{，}b$は実数とする．

(1)　放物線$C_1$において，$y\leqq 0$となる$x$の範囲は$\boxed{\text{サ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$であり，頂点の座標は$\boxed{\text{ス}}$である．

(2)　放物線$C_2$の頂点の座標は$\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　$a=0$のとき，放物線$C_2$が$\boxed{\text{サ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$の範囲で$x$軸と少なくとも$1$点で交わるのは，$b$が$\boxed{\text{ソ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{タ}}$の範囲のときである．

(4)　$b=-5$のとき，放物線$C_2$が$\boxed{\text{サ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$の範囲で$x$軸と異なる$2$点で交わるのは，$a$の範囲が$\boxed{\text{チ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ツ}}$のときである．

(5)　$b=0$のとき，放物線$C_1$と$C_2$で囲まれる面積が最大となるのは，$a=\boxed{\text{テ}}$のときであり，その面積は$\boxed{\text{ト}}$である．

【３】　自然数$n$に対して，有理数の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を有理数$\alpha$に対して${(\alpha +\sqrt{3}i)}^n=a_n+b_n\sqrt{3}i$により定める．ただし$i$は虚数単位である．ここで数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を$\alpha$を用いて求める．

(1)　このとき$a_1=\boxed{\text{ナ}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{ニ}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}{b}_2=\boxed{\text{ネ}}$である．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を，それぞれ$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表すと，

$a_{n+1}=(\boxed{\text{ノ}})a_n+(\boxed{\text{ハ}})b_n$，

$b_{n+1}=(\boxed{\text{ヒ}})a_n+(\boxed{\text{フ}})b_n$である．

(3)　$\beta$を定数として，数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+\beta b_n$と定めるとき，$c_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表すと，$c_{n+1}=(\boxed{\text{ヘ}})a_n+(\boxed{\text{ホ}})b_n$となる．

　このとき$\gamma$を定数として$c_{n+1}=\gamma c_n$が成り立つように$\beta \text{，}\gamma$を定めると，

$\beta =\boxed{\text{マ}}\text{，}\gamma =\boxed{\text{ミ}}$（ただし，複号同順）となる．

　以上より，$c_n$の一般項は，$c_n=\boxed{\text{ム}}$および$\boxed{\text{メ}}$と，$2$つ得られる．

(4)　上の結果を用いて，数列$a_n\text{，}{b}_n$の一般項は，$a_n=\boxed{\text{モ}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{ヤ}}$となる．

【４】　$xy$平面上で，点$\mathrm{A}$は，$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}t\text{，}\cdots$秒と，$1$秒ごとにコインを投げ，表が出れば，原点$\mathrm{O}$から出発して，$x$軸上を正の方向に$1$ずつ移動するものとする．裏が出れば，その場にとどまるものとする．また，点$\mathrm{B}$は，$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}t\text{，}\cdots$秒と$1$秒ごとに大小$2$個のサイコロを同時に投げ，出た目の和が$3$の倍数であれば，点$\mathrm{Q}(0,5)$から出発して，$x$座標と$y$座標がともに増加する方向に直線$y=2x+5$上を$\sqrt{5}$ずつ移動するものとする．$3$の倍数でなければ，その場にとどまるものとする．

　ただし，コインの表と裏の出る確率は等しく${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，サイコロの各目の出る確率は等しく${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるものとする．

　なお，解答はすべて分数で表すこと．

(1)　$5$秒後，すなわちコインを$5$回投げたとき，点$\mathrm{A}$が座標$(1,0)$に位置している確率は，$\boxed{\text{ユ}}$である．

(2)　$3$秒後，すなわち大小$2$個のサイコロを同時に$3$回投げたとき，点$\mathrm{B}$が座標$(1,7)$に位置している確率は，$\boxed{\text{ヨ}}$である．

(3)　$t$秒後の$▵\mathrm{OBQ}$の面積を$S(t)$で表すと，面積$S(1)$の期待値は，$\boxed{\text{ラ}}$である．次に面積の変化$\{S(t+1)-S(t)\}$の期待値は，$\boxed{\text{リ}}$である．

(4)　$t$秒後の$▵\mathrm{OAB}$の面積を$T(t)$で表すと，面積$T(2)$の期待値は，$\boxed{\text{ル}}$である．