2012　西南学院大学　文,法学部Ａ日程MathJax

【１】

1　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき

(1)　$\sin \theta \cos \theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(3)　${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

【１】

2　点$\mathrm{P}$は放物線$C_1:y=x^2$上を動く．いま点$\mathrm{R}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{7}{8}})$に対し，線分$\mathrm{RP}$の$\mathrm{P}$の側の延長上に$\mathrm{RQ}=2\mathrm{RP}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C_2$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$C_2:y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}x+\boxed{\text{シ}}$である．

(2)　$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は，$\mathrm{A}(\boxed{\text{スセ}},\boxed{\text{ソ}})\text{，}\mathrm{B}(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})$である．ただし，$\boxed{\text{ソ}}>\boxed{\text{チ}}$とする．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【２】

1　$y={\log }_{2}x+{\log }_2(8-x)+{\log }_3(x-3)$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$x$のとり得る値の範囲は，$\boxed{\text{ト}}<x<\boxed{\text{ナ}}$である．

(2)　$y$は$x=\boxed{\text{ニ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{ヌ}}({\log }_2\boxed{\text{ネ}}+1)$をとる．

【２】

2　原点を$\mathrm{O}$とする平面上に，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(1,3)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(5,0)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(a,b)$が$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3$を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{R}\text{，}$および$2:1$に外分する点$\mathrm{S}$の軌跡を求めたい．

いま$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(x,y)$とすると，$a=\boxed{\text{ノ}}x-\boxed{\text{ハヒ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{フ}}y$より，$\mathrm{R}$の軌跡の方程式は

${(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘホ}}}{\boxed{\text{マ}}}})}^2+{(y-\boxed{\text{ミ}})}^2=1$

である．また，同様に$\mathrm{S}$の軌跡の方程式を求めると

${(x-\boxed{\text{ム}})}^2+{(y+\boxed{\text{メ}})}^2=9$

となる．

【３】

1　実数を係数とする$x$の$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の解の公式を導け．

【３】

2　$▵\mathrm{ABC}$について，$2$つの命題$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を考える．

$\mathrm{P}:\mathrm{AC}>\mathrm{AB}$ならば$\angle B>\angle C$

$\mathrm{Q}:\angle B>\angle C$ならば$\mathrm{AC}>\mathrm{AB}$

以下の問に答えよ．ただし，二等辺三角形の$2$つの底角が等しいことは前提としてよい．

(1)　命題$\mathrm{P}$を証明せよ．

ヒント：辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$となる点$\mathrm{D}$をとって考えよ．

(2)　命題$\mathrm{Q}$を，背理法を用いて証明せよ．ただし，証明に際して，(1)で証明した命題$\mathrm{P}$を用いてよい．