2013　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　直方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AD}=1\text{，}\mathrm{AE}=\sqrt{2}$のとき，$▵\mathrm{DEG}$の面積を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　$a>0\text{，}b>0$のとき，$(1+{\displaystyle \frac{b}{a}})(4+{\displaystyle \frac{a}{b}})$の最小値を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　不等式${1.8}^n<100000$を満たす整数$n$の最大値を求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$f(x)=x^2-2ax\text{，}g(x)=x^3-3ax$について次の問に答えなさい．ただし，$a$は定数とする．

(1)　$y=f(x)$のグラフおよび$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつときの$a$の値を求め，その交点の座標も求めなさい．

(2)　(1)で求めた$a$の値に対してできる$2$つの交点について，その$2$つの交点を通る直線と$y=f(x)$で囲まれる面積を求めなさい．

(3)　$a=1$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の座標を求めなさい．また，$2$つの関数のグラフを同一平面上に描きなさい．

【３】　円$O$は正三角形$\mathrm{ABC}$の外接円で半径$r$であるとする．外接円$O$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$で交わり半径$r$であるもうひとつの円を$O^{\prime }$とし，点$\mathrm{C}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとり線分$\mathrm{AP}$の延長と円$O^{\prime }$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ただし，外接円$O$と円$O^{\prime }$は異なり，また点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なるものとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$\angle \mathrm{PCQ}$の大きさを求めなさい．

(2)　$▵\mathrm{PBC}$と合同な三角形を示しなさい．

(3)　$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$を示しなさい．

【４】　数列$\{a_n\}$を

${\displaystyle \frac{6}{7}}\text{，}{\displaystyle \frac{11}{8}}\text{，}2\text{，}{\displaystyle \frac{27}{10}}\text{，}{\displaystyle \frac{38}{11}}\text{，}\cdots$

とし，数列$\{b_n\}$を階差数列が等差数列となる数列とし，数列$\{c_n\}$を等差数列とし，一般項$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$の関係は

$a_n={\displaystyle \frac{b_n}{c_n}}$

を満たすとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　一般項$a_n$を$n$の関数とし，$a_n=f(n)$と表すことにする．このとき，関数$g(n)=f(n)+f(-n)$が偶関数であることを示しなさい．また，関数$h(n)=f(n)-f(-n)$が奇関数であることを示しなさい．

(3)　一般項$d_n$が偶関数となる数列$\{d_n\}$と一般項$e_n$が奇関数となる数列$\{e_n\}$を使い，数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n=d_n+e_n$と表したい．このとき，一般項$d_n$と$e_n$をそれぞれ求めなさい．

【５】　$0\leqq n\leqq 99$の整数$n$に対して，$a$が$100-n$の約数でかつ$a>n$であるとき，$a$は集合${\mathrm{A}}_n$の要素であるとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　集合${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2$の要素を具体的に求めなさい．

(2)　空集合とならない集合${\mathrm{A}}_n$について$n$の最小値$\underset{‾}{n}\text{，}$最大値$\bar{n}$を求め，それぞれ$\underset{‾}{n}\text{，}\bar{n}$に対する集合${\mathrm{A}}_n$の要素を具体的に求めなさい．

(3)　以下の命題について，真であるならば証明をし偽であるならば反例をあげ，真偽を答えなさい．

(ⅰ)　$\underset{‾}{n}<n<\bar{n}$であるすべての$n$に対して，集合${\mathrm{A}}_n$に属する要素の最小値を$a_n$とおくと，$s>t$ならば$a_s>a_t$である．

(ⅱ)　$\underset{‾}{n}<n<\bar{n}$であるすべての$n$に対して，集合${\mathrm{A}}_n$が$2$つ以上の要素からなるならば，${\displaystyle \frac{b}{c}}$が整数となるような${\mathrm{A}}_n$の異なる要素$b\text{，}c$が存在する．