2013　東北学院大学　前期分割工(機械知能工,電子工学科)学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\sin \alpha \cos \alpha =A$とおくとき${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha$を$A$を用いて表すと$\boxed{\text{(ア)}}$となる．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　赤球$3$個，青球$3$個，白球$4$個の合計$10$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．このとき取り出した球が同じ色である確率は$\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$から$n$までの自然数の和$1+2+\cdots +n$が$5000$以上$6000$以下となる$n$は全部で$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【２】　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$について$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$とし線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{PD}$と線分$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{Q}$とするときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

【３】　二つの放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2\text{，}y=-x^2$がある．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　二つの放物線で囲まれる部分の面積を求めよ．

(ⅱ)　二つの放物線で囲まれる部分に内接する，各辺が$x$軸または$y$軸に平行な長方形を考える．頂点の一つとなる点の座標を$(t,-t^2)\text{（}t>0\text{）}$としたとき，長方形の面積$S$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$S$の最大値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{(x+1)(2x-1)}}(-1<x<{\displaystyle \frac{1}{2}})$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の極値を求めグラフの概形を描け（変曲点は求めなくてよい）．

(ⅱ)　$f(x)={\displaystyle \frac{a}{x+1}}+{\displaystyle \frac{b}{2x-1}}$を満たす定数$a\text{，}b$を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^0}f(x)dx$を求めよ．