2013　東北学院大学　後期工学部3月6日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$ac\ne 0$とする．$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}$を$2$つの解としてもつ$2$次方程式は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$y=3^x$のグラフを直線$y=x$に関して対称に移動すると$\boxed{\text{(イ)}}$のグラフとなる．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　不等式$|2x|+|y|\leqq 1$で表される領域の面積を求めると$\boxed{\text{(ウ)}}$となる．

【２】　平面上の点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1)$を考える．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ただし$1\leqq a+b\leqq 2\text{，}a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$）を満たす点$\mathrm{P}$の存在領域を図示し，かつその領域の面積を求めよ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}$（ただし$a+b+c=1\text{，}a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\text{，}c\geqq 0$）を満たす点$\mathrm{P}$の存在領域を図示し，かつその領域の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=-x^2+4$と直線$y=kx+3\text{（}k>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線と直線の交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき$\beta -\alpha$を$k$で表せ．

(ⅱ)　この放物線と直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}(0,\sqrt{9+{\displaystyle \frac{1}{k^2}}})$に対し四角形$\mathrm{AOBP}$の面積の最小値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{x-1}}$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　右側からの極限$\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)$および左側からの極限$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の極値を求めグラフの概形を描け（変曲点は求めなくてよい）．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_2^3}f(x)dx$を求めよ．