2013　東京理科大学　工学部二部3月3日実施MathJax

【１】　実数$x$の関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$と$x=1$で極値をとるとき，実数の定数$a\text{，}b\text{，}c$について以下の問いに答えなさい．

(1)　$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}b=-\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$-{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$を満たすすべての$x$に対して不等式

$f(x)<{\displaystyle \frac{6}{7}}{c}^2$

が成り立つのは

$c<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}\text{，}c>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

のときである．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　直線$y=2x$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}x$とのなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$

である．また，直線

$y=-\boxed{\text{ウ}}x$

と直線$y=2x$のなす角も$\theta$である．

(2)　直線$y=2x$が$x$軸の正の向きとなす角を$\alpha$とするとき，直線$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}x$と$x$軸の正の向きとのなす角は$2\alpha$である．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 1& 2\end{array}\right)$について以下の問いに答えなさい．ただし，$x$は実数である．

(1)　$AP=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ア}}& \boxed{\text{イ}}x-\boxed{\text{ウ}}\\ \boxed{\text{エ}}& \boxed{\text{オ}}x-\boxed{\text{カ}}\end{array}\right)$である．

(2)　行列$P$が逆行列をもち，$P^{-1}AP$が$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$の形の行列になるのは，$x=\boxed{\text{キ}}$のときである．このとき，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}$であり，

$P^{-1}{A}^{n}P=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{コ}}& \boxed{\text{サ}}\\ \boxed{\text{シ}}& {\boxed{\text{ス}}}^n\end{array}\right)$

である．ただし，$n$は自然数とする．

(3)　$A^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{セ}}\cdot {\boxed{\text{ソ}}}^n-\boxed{\text{タ}}& -\boxed{\text{チ}}\cdot {\boxed{\text{ツ}}}^n+\boxed{\text{テ}}\\ \boxed{\text{ト}}\cdot {\boxed{\text{ナ}}}^n-\boxed{\text{ニ}}& -\boxed{\text{ヌ}}\cdot {\boxed{\text{ネ}}}^n+\boxed{\text{ノ}}\end{array}\right)$である．ただし，$n$は自然数とする．

【４】　次の定積分を求めなさい．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}+1}}dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}-\log \boxed{\text{ウ}}$

【４】　次の定積分を求めなさい．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\sin {\displaystyle \frac{x}{3}}dx=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

【５】　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(a,-1,3)\text{，}\mathrm{B}(3,b,1)\text{，}\mathrm{C}(0,-3,c)$が同一直線$l$上にあるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a$を用いて$b\text{，}c$を表すと，

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{a}}-\boxed{\text{イ}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}-a}}+\boxed{\text{オ}}$

である．

(2)　$a=\boxed{\text{カ}}$のとき，直線$l$上の点で点$\mathrm{P}(1,-2,2)$に最も近いのは点$\mathrm{A}$である．