2013　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

(1)

${\displaystyle \frac{1+2\sqrt{2}i}{-2+5\sqrt{2}i}}=x+yi={\displaystyle \frac{1}{z+wi}}$

を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$は$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}\text{，}z=\boxed{\text{ウ}}\text{，}w=\boxed{\text{エ}}$である．

(2)

$1+2\sqrt{2}i={(x+yi)}^2$

となる実数$x\text{，}y$で，$x>0$となるものを求めよう．両辺の実部と虚部をそれぞれ比較することにより，$x\text{，}y$は連立方程式

$\{\begin{array}{l}\boxed{\text{オ}}=1\\ \boxed{\text{カ}}=\sqrt{2}\end{array}$

を満たすことがわかる．$y$を消去して$x$に関する$4$次方程式$\boxed{\text{キ}}=0$を得る．これを解くことによって，

$1+2\sqrt{2}i={(\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}i)}^2$

を得る．

$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& b\end{array}\right)$

を考える．$B$には逆行列が存在するとし，さらに

$AB=B\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& c\end{array}\right)$

が成り立つとすると，$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}b=\boxed{\text{サ}}\text{，}c=\boxed{\text{シ}}$となり，このとき，$B^{-1}=\boxed{\text{ス}}$と書ける．従って，任意の正の整数$n$に対して

$A^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{セ}}& \boxed{\text{ソ}}\\ \boxed{\text{タ}}& \boxed{\text{チ}}\end{array}\right)$

となる．また行列$A^n$で表される$1$次変換により，座標平面上の点$\mathrm{P}(0,1)$が点${\mathrm{Q}}_n$に移されるとする．点${\mathrm{Q}}_n$の座標を$(x,y)$とするとき，$x$と$y$には$\boxed{\text{ツ}}=2$なる関係式が成り立つ．（注：$\boxed{\text{コ}}$から$\boxed{\text{ツ}}$は$a\text{，}b\text{，}c$を使わない式とし，$\boxed{\text{ツ}}$は$n$を含まない式である．）

$C:x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=0$

と直線

$l:y=-sx+t$

を考える．$C$と$l$が共有点をもつための必要十分条件は，$\boxed{\text{テ}}\geqq t^2$と表せる．ただし，$\boxed{\text{テ}}$には，$a$と$s$のみの式が入る．このときの共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}{x}_2$として，$x_1\leqq x_2$となっているものとする．このとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を$a\text{，}s\text{，}t$を使って表すと

$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{a^2+s^2}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{a^2+s^2}})\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{a^2+s^2}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{a^2+s^2}})$

となる．

　いま，$x_1\ne x_2$であるとして，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を結んだ線分$\mathrm{AB}$の長さを$d$とすると，$d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{a^2+s^2}}$となり，$\underset{a\to \infty }{\lim }d=\boxed{\text{ノ}}$となる．また，$a\text{，}s$を固定したときの$d$の最大値は$\boxed{\text{ハ}}$である．

　次に$s=t$としてみる．$x_1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるのは，$s=t=\boxed{\text{ヒ}}$（$a$のみの式）となる場合である．このとき，$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$は$S=\boxed{\text{フ}}$となる．ただし，そのような部分が$2$つ以上ある場合は，面積の小さい方を考えるものとする．

(a)　額面$100$円の商品券一種類のみを使うとき，渡す商品券の枚数の期待値は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

(b)　額面が$1000$円と$5000$円の二種類の商品券を使うとき，額面$1000$円の商品券の枚数の期待値は$\boxed{\text{ホ}}$であり，額面$5000$円の商品券の枚数の期待値は$\boxed{\text{マ}}$である．

(c)　$n$は$1<n<50$なる整数で，$50$の約数であるとする．このとき，額面$1000$円と額面$1000\times n$円の二種類の商品券を使うとき，渡す商品券の合計枚数の期待値は$\boxed{\text{ミ}}$であり，$n=\boxed{\text{ム}}$または$n=\boxed{\text{メ}}$のとき，$\boxed{\text{ミ}}$は最小値$\boxed{\text{モ}}$をとる．

(2)　$N$は$4$以上の整数とし，$\sqrt{N}$は整数となるものとする．$0$から$N-1$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードが入った袋を用意し，(1)と同様のルールで商品券を渡すものとする．整数$n$を$1<n<N$なる$N$の約数とし，額面$1000$円と額面$1000\times n$円の二種類の商品券を使うとき，渡す商品券の枚数の合計の期待値は$n=\boxed{\text{ヤ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ユ}}$をとる．