2013　立命館大　文系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}\angle \mathrm{B}=45\mathrm{°}$のとき，辺$\mathrm{AC}=\boxed{\text{ア}}$である．このとき，$\cos A=\boxed{\text{イ}}$であり，$\sin A=\boxed{\text{ウ}}$である．また，この$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は，$\boxed{\text{エ}}$となる．この外接円上に，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積が最大となるように点$\mathrm{D}$をとると，$\angle \mathrm{BDC}=\boxed{\text{オ}}\mathrm{°}\text{，}$辺$\mathrm{CD}=\boxed{\text{カ}}$である．そのときの四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(2)　図のように，円$C_1$が円$C_2$の左側にあり，円$C_1$と円$C_2$は，ともに$x$軸に接し，点$\mathrm{P}$で互いに外接している．また点$\mathrm{P}$における$2$つの円に共通な接線を$l$とする．

　円$C_1$の中心が$y$軸上の点$(0,\sqrt{3})\text{，}$接線$l$の傾きが$\sqrt{3}$であるとき，円$C_1$の方程式は，$x^2+{(y-\boxed{\text{ク}})}^2=\boxed{\text{ケ}}$，この接線の方程式は，$y=\boxed{\text{コ}}x-\boxed{\text{サ}}\text{，}$接点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})\text{．}$

　円$C_2$の方程式は，${(x-\boxed{\text{セ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ソ}})}^2=\boxed{\text{タ}}$となる．

【１】

(3)　一辺の長さ$1$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AR}}=u\overrightarrow{c}$で表される点をとする．ただし，$s\text{，}t\text{，}u$は$0<s\leqq 1\text{，}0<t\leqq 1\text{，}0<u\leqq 1$を満たす．

　線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{PR}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{RM}$と線分$\mathrm{QN}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AL}}$を$s\text{，}t\text{，}u$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AL}}=\boxed{\text{チ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ツ}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{テ}}\overrightarrow{c}$となる．

　次に，$s=t=u={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{ト}}\text{，}$四面体$\mathrm{APQR}$の体積は$\boxed{\text{ナ}}$となり，このとき線分$\mathrm{AL}$と線分$\mathrm{LG}$の長さの比は，$\mathrm{AL}:\mathrm{LG}=1:\boxed{\text{ニ}}$である．

【２】　$2001$年$1$月から$(2000+n)$年$12$月までの計$n$年間働く田中さんの消費行動を次のように考える．田中さんは毎年$30$万円ずつの収入を得，そして毎年一定額$c$万円ずつ消費を行う．田中さんは自分の持つお金をすべて$\mathrm{A}$銀行の口座に預けている．給与（収入）はその銀行口座に振り込まれ，消費するときは毎回銀行口座からお金をおろすとする．田中さんの銀行口座には，毎年$12$月末から翌年$1$月はじめにかけ$12$月末の残高に対して$10\mathrm{\%}$の利息が付き，働き始めるときの預金残高，つまり$2001$年$1$月はじめの段階での預金残高は$0$円とする．毎年$1$月はじめの段階ではその年の収入は受け取っておらず，またその年の消費も行われていないとする．また毎年$1$月末の段階までにはその年の収入をすべて受け取り，その年の消費も完了しているとして各問いに答えよ．

(1)　田中さんの消費が毎年$10$万円のとき，働き始めて$2$年目のはじめ，つまり$2002$年$1$月はじめの段階での田中さんの預金残高は$\boxed{\text{ヌ}}$万円である．

(2)　田中さんの消費が毎年$20$万円のとき，働き始めて$2$年目の終わり，つまり$2002$年$12$月末の段階での田中さんの預金残高は$\boxed{\text{ネ}}$万円である．

(3)　$(2000+n)$年$12$月末の預金残高を$a_n$万円とする．このとき，$a_{n+1}$と$a_n$との間に成立する漸化式は$c$を用いて，$a_{n+1}=\boxed{\text{ノ}}$として表すことができる．

(4)　上の漸化式を解いて，数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$c$のみの式で表すと$a_n=(\boxed{\text{ハ}})\times ({1.1}^n-1)$となる．

(5)　田中さんは$2033$年$12$月末に$2210$万円だけのお金を口座に残すことを考えているとする．つまり$a_{33}=2210$ である．このとき，毎年の消費額を$1$万円単位で表記した値，つまり$c$は$\boxed{\text{ヒ}}$万円として与えられる．ただし，${1.1}^{32}=21$とする．

【３】　$a$は，$a>1$を満たす定数とする．

(1)　$a^x+a^{-x}$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$x$が不等式$2\leqq a^x+a^{-x}\leqq 8$を満たすとき，$a^x$のとりうる値の範囲，および$x$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

(3)　$x$が(2)で求めた範囲を満たし，$x$と$y$が次の不等式を満たすとき，$y$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

$0\leqq {\log }_{a}y+x\leqq {\log }_{a}2$