2013　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　平面上に中心$\mathrm{O}\text{，}$半径が$1$の円を考え，その円に三角形$▵\mathrm{ABC}$が内接しているとする．さらに，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とするとき，ある実数$s\text{，}t\text{，}u$によって，以下の等式が成り立っているものとする．

$s\overrightarrow{\mathrm{OL}}+t\overrightarrow{\mathrm{OM}}+u\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{0}\cdots$(＊)

(1)　等式(＊)を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を使った等式に書き直すと

$(s+u)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

となる．いま，$\boxed{\text{ア}}$も$\boxed{\text{イ}}$も正の実数である場合を考えよう．辺$\mathrm{BC}$を$\boxed{\text{イ}}:\boxed{\text{ア}}$に内分する点を$\mathrm{D}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-{\displaystyle \frac{s+u}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

となる．このことから，点$\mathrm{O}$が三角形$▵\mathrm{ABC}$の内部にあるためには$s+u$が$\boxed{\text{エ}}$であることが必要十分条件である．

(2)　とくに，$s=10\text{，}u=3\text{，}t>-3$としてみよう，このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は$t$を使って$\boxed{\text{オ}}$と書き表せ，$t=\boxed{\text{カ}}$のときに$0$となって，$\angle \mathrm{BOC}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$さらに，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{ク}}$となる．

【２】　$s$を実数とし，座標平面において点$\mathrm{P}(s,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$から放物線

$C_1:y=x^2$

に引いた$2$本の接線を$l_1\text{，}{l}_2$とし，その接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(t,t^2)\text{，}\mathrm{R}(u,u^2)$とする．

(1)　このとき，$t+u$は$s$を使って$t+u=\boxed{\text{ケ}}$と書ける．また$tu=\boxed{\text{コ}}$となる．

(2)　点$\mathrm{Q}$を通り直線$l_1$と直交する直線を$m_1\text{，}$また，点$\mathrm{R}$を通り直線$l_2$と直交する直線を$m_2$とすると，$t$と$u$を使って

$m_1:y=\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}$

および

$m_2:y=\boxed{\text{ス}}x+\boxed{\text{セ}}$

と表せる．$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{S}$とすると，その座標は$s$のみを使って$\mathrm{S}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$

と書き表すことができる．従って，$s$が実数の範囲で変化するとき，点$\mathrm{S}$の軌跡は曲線

$C_2:y=\boxed{\text{チ}}{x}^2+\boxed{\text{ツ}}$

を描く．

(3)　いま$s$が$s>0$の範囲で変化するとしよう．曲線$C_2$の点$\mathrm{S}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{T}$とすると，$\mathrm{T}(\boxed{\text{テ}},0)$である．$d=\mathrm{PT}$とすると，$d^2$は$s$のみを使って$d^2=\boxed{\text{ト}}$と表せる．したがって，$d$は$s=\boxed{\text{ナ}}$のときに最小値$\boxed{\text{ニ}}$をとる．

【３】　$1$から$15$までの数字が$1$つずつ書かれた玉が入った袋を考える．袋から$1$個ずつ玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さないとする．これを$3$回くり返して$3$つの玉を取り出し，そこに書かれている数字が，取り出した順に$a\text{，}b\text{，}c$であるとする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を順番に並べて$3$桁から$6$桁の数字を作る．たとえば，$a=3\text{，}b=13\text{，}c=5$であるとき，$4$桁の数$3135$が作れるものとする．このとき，作られた数字が$5$桁以下の数字となる確率は$\boxed{\text{ヌ}}$であり，作られた数字が$5$で割り切れる確率は$\boxed{\text{ネ}}$となる．

(2)　$a+b>16$かつ$c=5$となるように$3$つの玉を取り出す場合は，全部で$\boxed{\text{ノ}}$通りある．

(3)　$x$についての関数

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

を考える．$f(x)$は$x=\boxed{\text{ハ}}$のときに最小値$\boxed{\text{ヒ}}$をとる．$\boxed{\text{ハ}}<-1$となるような確率は$\boxed{\text{フ}}$である．さらに，$x$についての関数

$g(x)=-c{x}^2-bx+c$

を考える．$g(x)$は$x=\boxed{\text{ヘ}}$のとき最大値$\boxed{\text{ホ}}$をとる．$\boxed{\text{ヘ}}<-1$となる確率は$\boxed{\text{マ}}$である．また$\boxed{\text{ヒ}}\geqq \boxed{\text{ホ}}$となる確率は$\boxed{\text{ミ}}$である．

【４】　空間の$4$点$\mathrm{A}(2,1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,-1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,-1,0)\text{，}\mathrm{D}(0,1,0)\text{，}$および，方程式$z=2$で表される平面上の$4$点${\mathrm{A}}^{\prime }(4,1,2)\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }(4,-1,2)\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }(2,-1,2)\text{，}{\mathrm{D}}^{\prime }(2,1,2)$を頂点とする角柱を$S$とする．このとき，正方形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$は，正方形$\mathrm{ABCD}$をベクトル$(2,0,2)$分だけ移動したものになっている．また，点$\mathrm{E}(4,0,0)$および$\mathrm{Q}(0,0,2)$をとり，底面が$xy$平面上の三角形$▵\mathrm{ABE}\text{，}$頂点が$\mathrm{Q}$の三角錐を$T$とする．

(1)　$t$を$0\leqq t\leqq 2$なる実数とする．方程式$z=t$で表される平面と$S\text{，}$および，$T$との共通部分を考える．その共通部分の任意の点$\mathrm{P}(x,y,t)$に対して，$xy$平面上の点${\mathrm{P}}^{\prime }(x,y,0)$を考え，点${\mathrm{P}}^{\prime }$の全体をそれぞれ$S_t\text{，}{T}_t$とする．このとき，$S_t$は不等式$t\leqq x\leqq t+2\text{，}|y|\leqq 1$で表される領域である．また，$T_t$は

${\mathrm{A}}^{″}(\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}},0)\text{，}{\mathrm{B}}^{″}(\boxed{\text{ム}},-\boxed{\text{メ}},0)\text{，}$

${\mathrm{E}}^{″}(\boxed{\text{モ}},0,0)$

を頂点とする三角形で囲まれる領域を含む領域で，その面積は$\boxed{\text{ヤ}}$である．ただし，$\boxed{\text{メ}}\geqq 0$であるとする．

(2)　$S_t$と$T_t$の共通部分を$V_t$とする．まず，$0\leqq t<\boxed{\text{ユ}}$のとき，頂点${\mathrm{E}}^{″}$は正方形$S_t$の外部にあり，したがって$V_t$は台形となり，その面積は$\boxed{\text{ヨ}}$である．次に$\boxed{\text{ユ}}\leqq t\leqq 1$のとき，三角形$T_t$は$S_t$の内部と境界に含まれており，$V_t=T_t$となる．したがってその面積は$\boxed{\text{ヤ}}$である．$1<t\leqq \boxed{\text{ラ}}$のとき辺${\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}$は$S_t$の外部にあり，$V_t$は$T_t$の$x\leqq \boxed{\text{リ}}$の部分のなす三角形となるので，その面積は$\boxed{\text{ル}}$となる．最後に，$\boxed{\text{ラ}}<t\leqq 2$のとき，$S_t$と$T_t$は共通部分をもたない．

(3)　以上の考察から，$S$と$T$の共通部分$V$の体積は$\boxed{\text{レ}}$となる．