2013　関西学院大　教育(理系)，理工学部個別日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$p\text{，}q$を実数の定数とし，$3$次方程式

$x^3+px+q=0\cdots$(＊)

を考える．(＊)が複素数$2+\sqrt{3}i$を解に持つならば，$p=\boxed{\text{ア}}$である．また，(＊)が$2$重解を持ち，$p\text{，}q$が$p+q=-1$を満たすならば，$p=\boxed{\text{イ}}$または$\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$つの関数$f(x)=\log x-1\text{，}g(x)=x$について，積$f(x)g(x)$の導関数は$\boxed{\text{エ}}$であり，商${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$の導関数は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-2)=2$の解は$\boxed{\text{カ}}$である．また，${({\log }_{2}x)}^2+2{\log }_{2}x-8=0$の$2$つの解のうち小さい方は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書いてあるカードが，それぞれ$1$枚ずつ，合計$9$枚ある．この中から$3$枚のカードを取り出し，書かれた数字の小さい方から順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．$a\text{，}b\text{，}c$がすべて偶数である確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$a\text{，}b\text{，}c$が連続した数字である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$a=4$である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=4n^3+6n^2-n\text{（}n\geqq 0\text{）}$で表されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})$を求めよ．

(3)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2n}$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$を求めよ．

(4)　$\underset{n}{U}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めよ．

【３】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(5,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(3,6,0)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(x,y,z)$とおくとき，$2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を成分で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot (2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$は，ある球面上にあることを示せ．また，その球面の中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が(2)で求めた球面上を動くとき，四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値を求めよ．ただし，$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一平面上にあるときは$V=0$とする．

【４】　関数$f(x)={\sin }^{2}x+2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}(\pi ,f(\pi ))$における曲線$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$l$の凹凸を調べよ．また，変曲点の座標を求めよ．

(4)　接線$l$の方程式を$y=g(x)$とするとき，連立不等式

$g(x)\leqq y\leqq f(x)\text{，}\pi \leqq x\leqq 2\pi$

で表される領域の面積を求めよ．