2013　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施

(1)　$xy$平面において，放物線$y=-x^2+2x$を$C_1$とする．$C_1$の頂点の座標は$\boxed{\text{ア}}$である．実数$a\text{，}b$に対して，方程式$y=x^2+ax+b$で定まる放物線$C_2$の頂点が$C_1$の頂点$\boxed{\text{ア}}$と一致するとする．このとき，$a\text{，}b$の値は$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$となる．$C_2$を$x$軸方向に$-2\text{，}y$軸方向に$2$平行移動してできる放物線を$C_3$とすると，$C_3$の方程式は$y=\boxed{\text{エ}}$となる．また，$C_3$が直線$y=cx-5$と接しているとき，$c$の値は$-4\text{，}\boxed{\text{オ}}$となる．

(2)　$1$から$4$までの番号が$1$つずつかかれた$4$個の玉が袋に入っている．また左から順に$1$から$4$の番号のついた箱が$4$つ横に$1$列に並んでいるとする．袋の中から$1$個ずつ玉を取り出し，左から順番に$4$つの箱の中にいれていく．このとき箱の番号と同じ番号をもつ玉の個数を$X$個とする．$X=4$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．$X=3$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$となる．さらに$X=2$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X=1$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$となる．したがって$X=0$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　実数$a$に対して方程式

$\cos 2x+\sin x+a=0\cdots \text{①}$

を$0\leqq x<2\pi$の範囲で考える．$u=\sin x$とおき，$\cos 2x$を$u$の$2$次式で表すと，$\cos 2x=\boxed{\text{ア}}$であるから，$\text{①}$より$u$は$2$次の係数が$2$の$2$次方程式

$\boxed{\text{イ}}=0$

を満たす．方程式$\text{①}$が解をもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{エ}}$である．また方程式$\text{①}$が$4$つの解をもつための$a$の条件は$\boxed{\text{オ}}<a<0$である．

(2)　平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{O}$が

$\angle \mathrm{AOB}=120\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=3$

を満たすとする．このとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$の値は$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{カ}}$である．また，平面上に点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0$が成り立つようにとる．$2$つの実数$s\text{，}$$t$に対し

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とすると$s=\boxed{\text{キ}}$が成り立つ．ただし，$\boxed{\text{キ}}$は$t$の式である．点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値は$t=\boxed{\text{ク}}$である．このとき，$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:\boxed{\text{ケ}}$となり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の長さは$\boxed{\text{コ}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$は数値である．

(1)　$f(x)$の増減表をかき，$f(x)$の極小値と極大値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値$M(a)$を求めよ．