2014　東京大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を

$f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18$

と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$t\geqq -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．

【２】　$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．

　白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作(＊)を考える．

　はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作(＊)を繰り返し行う．

　たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．

　$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．

【３】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．

　線分$y=\sqrt{3}x\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x\text{（}-3\leqq x\leqq 0\text{）}$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)　$s$を$-3\leqq s\leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．

(2)　$D$を図示せよ．

【４】　$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=r\text{，}{a}_2=r+1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．

(1)　自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．

(2)　$r=2\text{，}p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．

(3)　ある$2$つの相異なる自然数$n\text{，}m$に対して，

$b_{n+1}=b_{m+1}>0\text{，}{b}_{n+2}=b_{m+2}$

が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．

【１】　$1$辺の長さが$1$の正方形を底面とする四角柱$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を，それぞれ辺$\mathrm{AE}\text{，}$辺$\mathrm{BF}\text{，}$辺$\mathrm{CG}$上に，$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が同一平面上にあるようにとる．四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおく．また，$\angle \mathrm{AOP}$を$\alpha \text{，}\angle \mathrm{COR}$を$\beta$とおく．

(1)　$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．

(2)　$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}S={\displaystyle \frac{7}{6}}$であるとき，$\tan \alpha +\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．

【２】　$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．

　白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作(＊)を考える．

　はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作(＊)を繰り返し行う．

　たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．

　$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{m}}{\displaystyle \sum _{n=1}^m}{p}_n$を求めよ．

【３】　$u$を実数とする．座標平面上の$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=-x^2+1$

$C_2\text{：}y={(x-u)}^1+u$

を考える．$C_1$と$C_2$が共有点をもつような$u$の値の範囲は，ある実数$a\text{，}b$により，$a\leqq u\leqq b$と表される．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$u$が$a\leqq u\leqq b$をみたすとき，$C_1$と$C_2$の共有点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とする．ただし，共有点が$1$点のみのときは，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$は一致し，ともにその共有点を表すとする．

$2|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$

を$u$の式で表せ．

(3)　(2)で得られる$u$の式を$f(u)$とする．定積分

$I={\displaystyle {\int }_a^b}f(u)du$

を求めよ．

【４】　$p\text{，}q$は実数の定数で，$0<p<1\text{，}q>0$をみたすとする．関数

$f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})$

を考える．

　以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x\leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．

(1)　$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．

(2)　$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を，

$x_n=f(x_{n-1})$

によって順次定める．$p>q$であるとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$

となることを示せ．

(3)　$p<q$であるとき，

$c=f(c)\text{，}0<c<1$

をみたす実数$c$が存在することを示せ．

【５】　$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=r\text{，}{a}_2=r+1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．

(1)　自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．

(2)　$r=2\text{，}p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．

(3)　ある$2$つの相異なる自然数$n\text{，}m$に対して，

$b_{n+1}=b_{m+1}>0\text{，}{b}_{n+2}=b_{m+2}$

が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．

(4)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}\cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．

【６】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．

　線分$y=\sqrt{3}x\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x\text{（}-2\leqq x\leqq 0\text{）}$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)　$s$を$0\leqq s\leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．

(2)　$D$を図示せよ．