2014　長崎大学　前期MathJax

【１】　$p$を正の定数として，放物線$C\text{：}y={(x-p)}^2+p^2$を考える．$C$の$2$本の接線$l\text{，}m$を考え，接点の$x$座標を，それぞれ$a\text{，}b$とする．ただし，$a<0\text{，}b>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$と$m$の方程式を求めよ．

(2)　$l\text{，}m$が原点を通るとき，$a\text{，}b$を$p$を用いて表せ．

(3)　$l\text{，}m$が原点を通るとき，放物線$C$と$2$本の接線$l$および$m$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{CA}=6$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(4)　実数$x\text{，}y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．

(5)　$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　整式$P(x)$を$(x-1)(x+2)$で割ると余りが$2x-1\text{，}(x-2)(x-3)$で割ると余りが$x+7$であった．$P(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，

$\cos 3\theta +2\cos \theta =0$

を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(3)　不等式

$2\cdot 3^{2x}-3^{x+2}+9<0$

を満たす$x$の範囲を求めよ．

【４】　$k$を実数とし，円$x^2+y^2=1$と直線$x+2y=k$が異なる$2$点で交わるものとする．その$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る円の中心は直線$y=2x$上にあることを示せ．

(3)　上の(2)の円の中心を$(a,2a)\text{，}$半径を$r$とする．$r^2$を$a$と$k$で表せ．

(4)　点$\mathrm{R}$の座標を$(2,1)$とする．$k$の値が(1)で求めた範囲を動くとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る円の中心の$x$座標の範囲を求めよ．

【５】　$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n\text{，}$奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち

$a_n=2^2+4^2+\cdots +{(2n)}^2\text{，}{b}_n=1^2+3^2+\cdots +{(2n-1)}^2$

である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については

$1^2+2^2+\cdots n^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)　偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +{20}^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +{19}^2$を求めよ．

(2)　$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{a_n}}-{\displaystyle \frac{3}{2n(2n+1)}}$および${\displaystyle \frac{1}{b_n}}+{\displaystyle \frac{3}{2n(2n+1)}}$を計算せよ．

(4)　$c_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

【６】　曲線$C\text{：}y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\log t)$における接線を$l$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　接線$l$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1\text{，}$接線$l$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．

(4)　$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減をしらべ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．

【７】　次の問いに答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\tan x=t$とおく．$\cos 2x$と${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$を$t$で表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\tan x}{2-\cos 2x}}dx$を求めよ．

(3)　関数$y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$の逆関数を求めよ．

(4)　$x={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$とおくことにより，${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$を求めよ．

【８】　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，関数$f(x)$と関数$g(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x$

$g(x)=\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}+c$

と定義する．$c$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$x=0$以外の点で接するように$c$の値を定め，接点$(p,q)$を求めよ．また，そのとき，区間$0\leqq x\leqq \pi$における関数$f(x)$と関数$g(x)$の大小関係を調べよ．

(2)　定数$c$と接点$(p,q)$は(1)で求めたものとする．そのとき，区間$0\leqq x\leqq p$において，$y$軸および$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$によって囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

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