2014　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　$a>0$を満たす定数$a$に対して，曲線$C\text{：}y=\log (x+1)$上に点$\mathrm{O}(0,0)$と点$\mathrm{A}(a,\log (a+1))$をとる．また，この曲線$C$上を動く点$\mathrm{P}(t,\log (t+1))$を考える．ただし，$0<t<a$とする．曲線$C$と直線$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$C$と直線$\mathrm{PA}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$x>0$に対して，${\displaystyle \frac{x}{x+1}}<\log (x+1)<x$が成り立つことを示せ．

問２　$S_1\text{，}{S}_2$を$a$と$t$を用いて表せ．

問３　$S_1+S_2$を最小にする$t$を求めよ．

【２】　行列$A={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& \sqrt{3}\\ 1& -1\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．次の問いに答えよ．

問１　$f$によって，曲線$xy=1$上の点は，曲線$x^2-3y^2=1$上の点に移されることを示せ．

問２　行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．

問３　$f$の逆変換$f^{-1}$によって，曲線$x^2-3y^2=1$上の点は，曲線$xy=1$上の点に移されることを示せ．

問４　 曲線$xy=1$上に$2$点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_2)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$をとる．このとき，$0$でない実数$a$により行列$B=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a^{-1}\end{array}\right)$で表される$1$次変換$g$で，点${\mathrm{P}}_1$を点${\mathrm{P}}_2$に移すものが存在することを示せ．

問５　曲線$x^2-3y^2=1$上に$2$点${\mathrm{Q}}_1(X_1,Y_1)\text{，}{\mathrm{Q}}_2(X_2,Y_2)$をとる．このとき，実数$s$と$t$により行列$C=\left(\begin{array}{cc}s& 3t\\ t& s\end{array}\right)$で表される$1$次変換$h$で，点${\mathrm{Q}}_1$を点${\mathrm{Q}}_2$に移すものが存在することを示せ．

【３】　$0<t<1$とする．$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$において，辺${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$辺${\mathrm{R}}_1{\mathrm{P}}_1$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{Q}}_2\text{，}$辺${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{R}}_2$とし，$▵{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2$を作る．この操作を繰り返して，自然数$n$に対して，$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{R}}_n$において，辺${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{R}}_n$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}$辺${\mathrm{R}}_n{\mathrm{P}}_n$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{Q}}_{n+1}\text{，}$辺${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{R}}_{n+1}$とし，$▵{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_{n+1}{\mathrm{R}}_{n+1}$を作る．$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{R}}_n$の面積を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{R}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_{n+1}$の面積を$a_n$と$t$を用いて表せ．また，$a_{n+1}$を$a_n$と$t$を用いて表せ．

問２　$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$とおくとき，$S$を$a_1$と$t$を用いて表せ．

問３　$a_1=1$とする．$S$を最小とする$t$の値とそのときの$S$の値を求めよ．

【４】　$x>0$において，関数$g(x)$と$h(x)$を次で定義する．

$g(x)={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x}}}\text{，}h(x)={\displaystyle \frac{\log x}{\log (x+1)}}$

次の問いに答えよ．

問１　関数$g(x)$は，$0<x\leqq 1$で単調に減少し，$x\geqq 1$で単調に増加することを示せ．

問２　関数$h(x)$は$x>0$で単調に増加することを示せ．また，$h(x)<0$となる$x$の範囲を求めよ．

問３　$x>0$で$g^{\prime }(x)h(x)\geqq 0$が成り立つことを示せ．

問４　$f(x)=g(x)h(x)$とおく．$f(x)$は$x>0$で単調に増加することを示せ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$において，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は整数で，$a+b\text{，}c+d$は共に偶数であるとする．次の問いに答えよ．

問１　$a-c$が偶数ならば，$A^2$の成分はすべて偶数であることを示せ．

問２　$A^2$の成分がすべて偶数ならば，$a-c$は偶数であることを示せ．