2014　東北学院大学　前期分割文，経済，教養学部2月3日MathJax

【１】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$5$の円に四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{DA}=4\text{，}\angle \mathrm{BOC}=2\alpha \text{（}\alpha \leqq 90\mathrm{°}\text{），}\angle \mathrm{ACD}=\beta$とする．ただし，$\angle \mathrm{ABC}>90\mathrm{°}$である．次の値を求めよ．

(ⅰ)　$\cos \alpha$

(ⅱ)　対角線$\mathrm{AC}$の長さ$l$

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$

(ⅳ)　$\sin \beta$

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$のとき，$x^3+y^3$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　$2$つの不等式$0<x-2a<a^2\text{，}{a}^2<x+3<18$の解が同じになるような，定数$a$の値を求めよ．

【３】　円$x^2+y^2=5$を$C$とし，点$\mathrm{P}(5,5)$から$C$に引いた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のうち$x$座標の小さい方を$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　接点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AB}$に関して，$C$と対称な円を$C_1$とする．$C_1$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

【４】　整式$P(x)$と$\mathrm{Q}(x)$を${(x-2)}^2$で割ったときの余りがそれぞれ$x+1$と$2x+3$である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$P(x)+Q(x)$を${(x-2)}^2$で割ったときの余りを求めよ．

(ⅱ)　$P(x)Q(x)$を${(x-2)}^2$で割ったときの余りを求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上に，頂点以外の相異なる点がそれぞれ$4$個，$2$個，$3$個ずつある．これら$9$個の点からいくつかの点を選んで，それらを頂点とする多角形をつくるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　六角形は全部でいくつできるか．

(ⅱ)　五角形は全部でいくつできるか．

【６】　空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,2,5)\text{，}\mathrm{B}(2,5,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,k)$が同一平面上にあるとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(ⅰ)　$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OC}$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．