2014　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　$x\text{，}y$を正の実数とするとき，$x^3+8y^3$を$x+2y$と$xy$を用いて表すと，

$x^3+8y^3=\boxed{\text{ア}}$

となる．

　ここで，$x\text{，}y$は正の定数$t$に対して，$x+2y=t$を満たすものとすると，$xy$は$x=\boxed{\text{イ}}\text{，}y=\boxed{\text{ウ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

　よって，$x^3+8y^3$はこのとき最小となり，$x^3+y^3$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】

(2)　$1$組のトランプ$52$枚をよくきって．$1$枚のカードを引いてもとに戻す試行を考える．

(a)　$1$回の試行でスペード以外のカードを引く確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

(b)　この試行を$5$回繰り返して行うとき，そのうちちょうど$2$回だけスペードのカードを引く確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

(c)　この試行を$5$回続けて行うとき，スペードのカードを引く回数の期待値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(3)　条件$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

　漸化式の$a_{n+1}\text{，}{a}_n$を$x$とおくことによってできる方程式の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき，$\alpha =\boxed{\text{ケ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{コ}}$となる．

　ここで，$b_n={\displaystyle \frac{a_n-\alpha }{a_n-\beta }}$とおくと，数列$\{b_n\}$は，初項$\boxed{\text{サ}}\text{，}$公比$\boxed{\text{シ}}$の等比数列となるので，数列$\{b_n\}$の一般項は，$b_n=\boxed{\text{ス}}$になる．

　したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\boxed{\text{セ}}$となる．

【２】　$2$種類の製品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を生産している会社があり，その会社の従業員は$24$人である．従業員は必ず$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$のどちらかの生産に従事するものとする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の生産量をそれぞれ$x\text{，}y$としたとき，その生産に必要な従業員の数は，$x^2+2x+y^2$人で与えられる（ただし，$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$）．また$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の値段は$1$単位あたりそれぞれ$12\text{，}16$であり，会社の売上金額は，$12x+16y$で表される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての従業員が$\mathrm{A}$の生産に従事する場合，その生産量は$\boxed{\text{ソ}}$であり，売上金額は$\boxed{\text{タ}}$である．

(2)　売上金額が最大になる場合の$\mathrm{A}$の生産量は$\boxed{\text{チ}}\text{，}\mathrm{B}$の生産量は$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$そしてそのときの売上金額は$\boxed{\text{テ}}$である．

(3)　$1$単位あたりの値段を，$\mathrm{A}$は$12$のまま，$\mathrm{B}$を$\boxed{\text{ト}}$とすると，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の生産量が等しいときに売上金額は最大になる．

(4)　今までは，従業員数は$24$人で一定であると考えていた．これからは，従業員数を会社が自由に決める事ができるとする．従業員を$L$人だけ雇うのに，$1$人あたり$1$だけ人件費がかかるとすると，売上金額から人件費を引いた利益は，$12x+16y-L$と表せる．この利益が最大になるとき，$\mathrm{A}$の生産量は$\boxed{\text{ナ}}\text{，}\mathrm{B}$の生産量は$\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　放物線$y=x^2-1$を$C_1\text{，}y=x^2$を$C_2\text{，}y=x^2+1$を$C_3$とする．$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,t^2-1)$から$C_2$に引いた$2$つの接線の接点を，$\mathrm{M}(x_1,{x_1}^2)\text{，}\mathrm{N}(x_2,{x_2}^2)$（ただし$x_1\ne x_2$）として，次の問いに答えよ．

(1)　$x_1+x_2\text{，}{x}_1{x}_2$を$t$の式で表すと，$x_1+x_2=2t{x}_1{x}_2=t^2-1$となることを示せ．

(2)　直線$\mathrm{MN}$の方程式を$t\text{，}x\text{，}y$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{MN}$と放物線$C_3$とが接することを示し，その接点の座標を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{MN}$と放物線$C_2$とで囲まれた図形の面積を求めよ．