2014　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．また，$f(x)$は$x=1$以外では，$x=\boxed{\text{ウ}}$で極小値$\boxed{\text{エ}}\text{，}x=\boxed{\text{オ}}$で極大値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

(2)　直線$l$が曲線$y=f(x)$と異なる$2$点で接しているとする．このとき，直線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{キ}}$

であり，$2$つの接点の$x$座標は$\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$である．また，直線$l$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　${\{f(t)\}}^2+{\{g(t)\}}^2=\boxed{\text{サ}}\text{，}{\{f^{\prime }(t)\}}^2+{\{g^{\prime }(t)\}}^2=\boxed{\text{シ}}\text{，}{\{f^{″}(t)\}}^2+{g^{″}(t)\}\}}^2=\boxed{\text{ス}}$である．また，

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(t)f^{″}(t)+g^{\prime }(t)g^{″}(t)}{\sqrt{{\{f^{\prime }(t)\}}^2+{\{g^{\prime }(t)\}}^2}\sqrt{{f^{″}(t)\}}^2+{\{g^{″}(t)\}}^2}}}$

は$t=\boxed{\text{セ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{ソ}}$をとる．

(2)

$\begin{array}{ll}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)g^{\prime }(t)dt+& {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}^{\prime }(t)g(t)dt=\boxed{\text{タ}}\text{，}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)g^{\prime }(t)dt-& {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}^{\prime }(t)g(t)dt=\boxed{\text{チ}}\text{，}\\ & {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)g^{\prime }(t)dt=\boxed{\text{ツ}}\end{array}$

である．

(1)　$P={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$とする．

$P^3=\boxed{\text{テ}}\text{，}P+P^2+P^3+P^4+P^5=\boxed{\text{ト}}$

である．自然数$n$に対して，$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$を次のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)+P^{n-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{（}n\geqq 2\text{）}$

このとき，

$\left(\begin{array}{c}{x}_4\\ y_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\boxed{\text{ナ}}\\ \boxed{\text{ニ}}\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_7\\ y_7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\boxed{\text{ヌ}}\\ \boxed{\text{ネ}}\end{array}\right)$

である．

(2)　$r>0$とし，$Q=r\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$とする．自然数$n$に対して，$\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$を次のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ v_1\end{array}\right)=(E+Q+Q^2+\cdots +Q^{3n-1})\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

このとき，

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ v_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\boxed{\text{ノ}}\\ \boxed{\text{ハ}}\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{u}_n-u_{n-1}\\ v_n-v_{n-1}\end{array}\right)=\boxed{\text{ヒ}}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ v_1\end{array}\right)\text{（}n\geqq 2\text{）}$

である．（注：$\boxed{\text{ヒ}}$には行列ではなく$r$と$n$を用いた式を入れること．）数列$\{u_n\}\text{，}\{v_n\}$がともに収束するのは，$r$が$0<r<\boxed{\text{フ}}$を満たすときであり，このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\boxed{\text{ホ}}$

である．

(1)　$6$本の線分の引き方は$\boxed{\text{マ}}$通りである．

(2)　直線$h$上の$2$点のみが$g$上の点と結ばれるような$6$本の線分の引き方は$\boxed{\text{ミ}}$通りである．

(3)　直線$h$上の$2$点のみが$g$上の点と結ばれ，かつ$6$本の線分が途中で交差しないような線分の引き方は$\boxed{\text{ム}}$通りである．

(4)　直線$h$上の$3$点が$g$上の点と結ばれるような$6$本の線分の引き方は$\boxed{\text{メ}}$通りである．

(5)　直線$h$上の$3$点が$g$上の点と結ばれ，かつ$6$本の線分が途中で交差しないような線分の引き方は$\boxed{\text{モ}}$通りである．

(6)　途中で交差する線分が存在するような$6$本の線分の引き方は$\boxed{\text{ヤ}}$通りである．