2014　福岡大学　系統別文系

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$y=-2x^2+2ax-3a+1$のグラフを$x$軸方向に${\displaystyle \frac{a}{2}}\text{，}$$y$軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$だけ平行移動したグラフの頂点の$y$座標は$\text{(1)}$である．その頂点の$y$座標は，$a$の値を変化させたとき，最小値$\text{(2)}$をとる．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　関数$y=2\sin x\cos x+\sin x+\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，$t=\sin x+\cos x$とおく．このとき，$t$のとりうる値の範囲は$\text{(3)}$である．また，$y$の最大値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$で$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CD}=4\text{，}$$\mathrm{DA}=2$とする．$\mathrm{\angle ABC}$の大きさを$\theta$とするとき，$\sin \theta =\text{(5)}$である．また，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{▵EBC}$の面積は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$1$個のサイコロを$5$回投げるとき，偶数の目が$2$回だけ出る確率は$\text{(1)}$である．また$1$個のサイコロを$2$回投げるとき，出る目の和が$5$となる確率は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3$をみたしている．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$\text{(3)}$である．また，点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$をみたすようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$(s,t)=\text{(4)}$となる．

【３】　平面上に点$\mathrm{A}$$(10,0)$と円$S\text{：}{x}^2+y^2=4$の周上を動く点$\mathrm{Q}$$(u,v)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{AQ}$を$t:(1-t)$の比に内分する点$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡は円になる．この円の中心と半径を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす定数である．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡が円$S$に接するときの$t$の値を求めよ．