2015　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　

(1)　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,-1,3)\text{，}\mathrm{B}(1,1,2)\text{，}\mathrm{C}(4,1,-1)$を通る平面が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．

（編注）2019年群馬大推薦理工学部小論文【４】(3)で活用

【１】　

(2)　$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式$1-{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sin 2x$を解け．

【１】　

(3)　方程式$3(4^x+4^{-x})-13(2^x+2^{-x})+16=0$を解け．

（編注）2019年群馬大推薦理工学部小論文【４】(4)で活用

【２】　点$\mathrm{P}$は正三角形$\mathrm{ABC}$の辺に沿って頂点を移動できる．このとき，次の操作を考える．

この操作を続けて行うとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$ははじめに頂点$\mathrm{A}$にあるとする．

(1)　$2$回目の操作終了時に，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

(2)　$4$回目の操作終了時に，点$\mathrm{P}$が頂点にある確率を求めよ．

【３】　$a$は実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+2ax+3a^2-2a-4=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，重解をもつときは$\alpha =\beta$とする．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の最大値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin nxdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a_n}^2$は収束し，その和は${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{x}^{2}dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$の和を求めよ．

(2)　等式${\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x^2}}+{\displaystyle \frac{c}{x+1}}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を定めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2(n+1)}}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．