2015　長崎大学　前期MathJax

【１】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2-2ax+2a^2$を考える．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$の共通接線を$l$とし，$C_1$と$l$との接点の$x$座標を$p\text{，}{C}_2$と$l$との接点の$x$座標を$q$とする．$p$と$q$の値および$l$の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$および接線$l$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．

(4)　点$(-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a^2}{4}})$における$C_1$の接線を $m$とする．このとき，$m$の方程式を$a$を用いて表せ．また，$m$と接線$l$との交点の$x$座標を求めよ．

(5)　放物線$C_1$および接線$l\text{，}m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$を用いて表せ．さらに，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．

【２】　$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,4,0)\text{，}\mathrm{D}(0,0,4)$をとり，右図のように線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{BF}$の中点を，それぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ．

(2)　$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ．

(4)　三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{FGMN}$において，三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ．

(5)　三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角${\theta }_1$（ただし，$0<{\theta }_1<\pi$）を求めよ．

(3)　$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角${\theta }_2$（ただし，$0<{\theta }_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

(4)　$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\angle \mathrm{S}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．

【４】　ひし形の紙がある（図１）．点線で半分に折ると正三角形になった（図２）．これを少し開いて机の上に立てると，三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の形になる（図３）．その高さを次のようにして求めたい．

　図４において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．

　空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，${|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|}^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．

(3)　実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．

(4)　三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

$\{\begin{array}{cc}{a}_1=1& \\ a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

【５】　以下の問いに答えよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n^2+1^2}}+{\displaystyle \frac{2}{n^2+2^2}}+{\displaystyle \frac{3}{n^2+3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n^2+n^2}})$

【５】　以下の問いに答えよ．

(3)　曲線$C\text{：}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた右図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【６】　実数$x\ne 1$について定義される関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$と$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．

(4)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(5)　$x\leqq 0$かつ$y\geqq 0$で表される領域について，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【７】　区間$0\leqq x\leqq \pi$上で定義される関数

$f(x)=\cos 2x-4{\mathrm{sn}}^{3}x$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$の解を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【８】　自然対数の底を$e$とする．区間$x\leqq 0$上で定義される関数

$f(x)=e^{-x}\sin x$

を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい准に並べる．それらを，${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$とする．点${\mathrm{P}}_0$は原点である．

　自然数$n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対して，線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を求めよ．

(2)　面積$S_n$を求めよ．

(3)　$I_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$とする．このとき，$I_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

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