2015　東北学院大学　後期工学部3月4日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　二次方程式$x^2-mx+8-2m=0$の$2$つの解がともに自然数になるとき$m=\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$のとき$x^3+y^3=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\sin x\cos x+\sin 2x\cos 2x=0$となるとき$x=\boxed{\text{(ウ)}}$である．ただし，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　$k$を$2$以上の自然数とし，$k$の関数$f(k)$を

$f(k)={\displaystyle \frac{2^2-1}{2^2}}\cdot {\displaystyle \frac{3^2-1}{3^2}}\cdot {\displaystyle \frac{4^2-1}{4^2}}\cdot \cdots \cdot {\displaystyle \frac{k^2-1}{k^2}}$

により定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(2)\text{，}f(3)\text{，}f(4)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(k)$を簡単な式で表せ．

(ⅲ)　${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{f(k)}{{(k+1)}^2}}$を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2$に点$\mathrm{P}(t,t^2)$を取る．このとき，$3$点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{，}\mathrm{Q}(t+1,t^2)\text{，}\mathrm{R}(t+1,t^2+2)$を頂点にもつ三角形について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$と$▵\mathrm{PQR}$の辺および頂点との交点の個数を$t$の値により場合分けして答えよ．

(ⅱ)　$C$の上側と$▵\mathrm{PQR}$の内部の共通部分の面積を$S$とする．$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき$S$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<t<1$のとき$S$を$t$を用いて表せ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$x=\log \sqrt{3}$で囲まれた部分の面積を求めよ．