2015　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ム}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}x(x-1)(x-c)$

と定める．$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$において

$f^{\prime }(\alpha )=0\text{，}{f}^{\prime }(\beta )=0$

を満たすものとする．

解と係数の関係により，

$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(c+1)\text{，}\alpha \beta ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}c$

である．したがって

${\displaystyle \frac{f(\alpha )-f(\beta )}{\alpha -\beta }}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}(c^2-c+\boxed{\text{キ}})$

${(\alpha -\beta )}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}(c^2-c+1)$

となるので，$c={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき

$f(\alpha )-f(\beta )={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ム}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_n=\cos (2^{n-1}\theta )\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．

(a)　余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+1}=\boxed{\text{ス}}{a_n}^2-1$

を満たす．

(b)　$\theta$が$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすとき

$a_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$

である．

(c)　$\theta ={\displaystyle \frac{5}{96}}\pi$とするとき

$a_{n+1}=a_n$

を満たす最小の正の整数$n$は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ム}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．

(a)　$1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}}}}$である．

(b)　出る目の最大値が$5$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}}}}$である．

(c)　大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のサイコロの目は中のさいころの目以下である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}}$である．

(d)　大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ミ}\text{ム}}}}$である．

【２】　$p$を正の定数として，関数$f(x)$を

$f(x)=-5x^p\log x\text{（}x>0\text{）}$

と定める．$a$は$f^{\prime }(a)=0$を満たす正の実数とする．ここで，$\log x$は自然対数であり，$e$は自然対数の底を表す．また，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)　$a$の値を$p$を用いて表せ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求め$p$を用いて表せ．

(3)　直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a\leqq x\leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，

$\underset{p\to +0}{\lim }S$

の値を求めよ．必要ならば，$\underset{u\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}}=0$であることを用いてよい．

【３】　正の定数$a\text{（}a\ne 1\text{）}$に対して，$2$次関数$f(x)$を

$f(x)=ax(1-x)$

と定める．曲線$C\text{：}y=f(x)$の点$(1,0)$における接線を$l_1\text{，}$直線$y=-x$を$l_2$とする．曲線$C$の$x\leqq 1$の部分と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)　直線$l_1\text{，}{l}_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，

${\displaystyle \frac{30x^3}{{(a-1)}^4\pi }}(V-U)$

を$a$の$1$次式で表せ．

(4)　$\underset{a\to 1+0}{\lim }{(a-1)}^{2}V$の値を求めよ．