2015　東京理科大学　薬学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　$m\text{，}n$を自然数とし，$m\geqq n$とする．$n$個の自然数の列で和が$m$となるようなものの場合の数を$f(m,n)$とする．例えば，$m=4\text{，}n=2$のときを考えてみると，和が$4$となる$2$つの自然数は$1\text{，}3$と$2\text{，}2$のみだから，和が$4$となる自然数の列は$1\text{，}3$と$3\text{，}1$と$2\text{，}2$の$3$通りである．したがって，$f(4,2)=3$である．このとき，以下の各値を求めよ．

(1)　$f(7,3)=\boxed{\text{ア}\text{イ}}$

(2)　$f(19,4)=\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{11}}f(12,k)=\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$

【２】　$11$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\cdots \text{，}\mathrm{K}$がいる．

(1)　$4$人ずつ$2$組と，残り$3$人の組に分ける方法は$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}$通りである．

(2)　(1)のような分け方のうち，生徒$\mathrm{A}$と生徒$\mathrm{B}$が同じ$4$人の組に入るような方法は$\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}\text{ク}}$通りである．また，生徒$\mathrm{A}$と生徒$\mathrm{B}$が同じ$3$人の組に入るような方法は$\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}$通りである．

(3)　(1)のような分け方のうち，生徒$\mathrm{A}$と生徒$\mathrm{B}$と生徒$\mathrm{C}$が異なる組に入るような方法は$\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}$通りである．

(4)　また，$11$人を$2$組に分ける方法は$\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}$通りである．ただし，どちらの組も$1$人以上の生徒が入るものとする．

【３】　放物線$C\text{：}y=a{x}^2-bx-c$は，点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-1)$を通り，この点における$C$の接線の傾きは$-14$であり，その軸は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるという．このとき，

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．$C$と$y$軸との交点における$C$の接線を$l$とすると，$l$の方程式は

$y=-\boxed{\text{カ}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

となり，原点を通り$l$に平行な直線と$C$で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$

となる．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$について考える．

(1)　$f({\log }_{\frac{1}{2}}5)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

(2)　$f(a)={\displaystyle \frac{4}{3}}$をみたす$a$に対して，$2^a=\boxed{\text{エ}}$

(3)　$f(b)={\displaystyle \frac{15}{8}}$をみたす$b$に対して，$f(b+{\log }_{2}3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$

【５】(1)　$\alpha$を実数として，$\sin \alpha$が$8{(\sin \alpha )}^3-6\sin \alpha -1=0$をみたすとき，

$\sin (3\alpha )=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

となる．

(2)　$3$次方程式$8x^3-6x-1=0$の異なる$3$つの解は

$\sin ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\pi )\text{，}\sin ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\pi )\text{，}\sin ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\pi )$

である．ただし，$0\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\leqq {\displaystyle \frac{5}{3}}$とする．

【６】　座標平面上に$3$点

${\mathrm{P}}_1(25,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_3(3,4)$

をとる．このとき，三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の外接円$C$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．${\mathrm{P}}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち${\mathrm{P}}_3$と異なるものを${\mathrm{P}}_4$とする．四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき

$\sin (\angle {\mathrm{P}}_2\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}}$

である．$C$の弧${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき

$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}$

となる．弧${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．