2015　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$a$を実数とし，関数$f(x)=a{x}^2+e^{-x^2}$について考える．必要ならば，$\underset{t\to \infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$を用いてよい．

(1)　$a=0$のとき，$f(x)$は$x=\pm \boxed{\text{ア}}$で変曲点をもつ．

(2)　$a=0$のとき，$f^{″}(x)$は$x=\boxed{\text{イ}}$で最小値$\boxed{\text{ウ}}$をとり，$x=\boxed{\text{エ}}$で最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

(3)　$0<a<\boxed{\text{カ}}$のとき，$f(x)$は異なる$2$つの$x=\pm \boxed{\text{キ}}$で最小値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

(4)　$f(x)$は$\boxed{\text{ケ}}<a<0$のとき変曲点を$\boxed{\text{コ}}$個もち，$0\leqq a<\boxed{\text{サ}}$のとき変曲点を$\boxed{\text{シ}}$個もち，それ以外のときは変曲点をもたない．

【２】　座標空間において原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,0,0)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+s\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を位置ベクトルにもつ点を$\mathrm{P}$とし，$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を位置ベクトルにもつ点を$\mathrm{Q}$とする．$s\text{，}t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はそれぞれ直線$\mathrm{BC}\text{，}$直線$\mathrm{OA}$上を動く．

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離は$s\text{，}t$を用いて表すと$\boxed{\text{ス}}$である．

　$s_1$を実数とし，$s=s_1$のときの点$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_1$とすると，点$\mathrm{Q}$が点${\mathrm{P}}_1$に最も近づくのは$t=\boxed{\text{セ}}{s}_1+\boxed{\text{ソ}}$のときである．このときの点$\mathrm{Q}$を${\mathrm{Q}}_1\text{，}t$を$t_1$とする．

　さらに，点$\mathrm{P}$が点${\mathrm{Q}}_1$に最も近づくのは$s=\boxed{\text{タ}}{t}_1+\boxed{\text{チ}}$のときである．

(2)　さらに，$m\geqq 2$のとき，$s_m\text{，}{t}_m$を

$s_m=\boxed{\text{タ}}{t}_{m-1}+\boxed{\text{チ}}\text{，}$

$t_m=\boxed{\text{セ}}{s}_m+\boxed{\text{ソ}}$

と定める．

　数列$\{s_m\}$の一般項は$s_1$を用いて表すと$s_m=\boxed{\text{ツ}}$であり，

$\underset{m\to \infty }{\lim }{s}_m=\boxed{\text{テ}}\text{，}\underset{m\to \infty }{\lim }{t}_m=\boxed{\text{ト}}$

となる．

(3)　$s=\boxed{\text{テ}}\text{，}t=\boxed{\text{ト}}$のときの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をそれぞれ${\mathrm{P}}_m\text{，}{\mathrm{Q}}_m$とする．このとき，任意の$s\text{，}t$について

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_m{\mathrm{Q}}_m}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ナ}}\text{，}$

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_m{\mathrm{Q}}_m}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ニ}}$

が成り立つ．

【３】　$-1<x<1$で定義された関数$f_1(x)$を

$f_1(x)={\displaystyle \frac{tx-1}{x-t}}$

と定める．ただし$t>0$とする．

　$f_1(x)$の値域は$\boxed{\text{ヌ}}<f_1(x)<\boxed{\text{ネ}}$である．

　また，

$f_1(f_1(x))=\boxed{\text{ノ}}$

であり，実数$s$で$s\ne t\text{，}s>1$を満たすものについて$g(x)=f_1(f_1(x))$とおくと，

$g(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}x+\boxed{\text{ヒ}}}{x+\boxed{\text{フ}}}}$

が成り立つ．ここで$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}-1}{\boxed{\text{ハ}}+1}}$とし，$g\left({\displaystyle \frac{1-R^n}{1+R^n}}\right)$を$R$を用いて表すと

$g\left({\displaystyle \frac{1-R^n}{1+R^n}}\right)=\boxed{\text{ヘ}}$

である．ただし$n$は自然数とする．

　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{1-R}{1+R}}\text{，}$

$a_{n+1}=g(a_n)\text{（}n\geqq 1\text{）}$

と定めると，$s<t$のとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{ホ}}$

であり，$s>t$のとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{マ}}$

である．

【４】　$2$個のサイコロを投げて出た目をそれぞれ$m\text{，}n$とする．$3$次関数

$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{m^2}}x+{\displaystyle \frac{n}{m^3}}$

について考える．

(1)　$f(x)$は$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{m}}$のとき極大値$\boxed{\text{ム}}$をとる．また，$f(-{\displaystyle \frac{k}{m}})<0$がどんな$n$に対しても成り立つような最小の自然数$k$は$\boxed{\text{メ}}$である．したがって，$x$についての$3$次方程式$f(x)=0$の解が

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{m}}<x<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{m}}$

の範囲に少なくとも一つ存在する．また，$m=\boxed{\text{モ}}$のとき，この範囲に整数が存在する．

(2)　$f(x)$の極大値が整数となる確率は$\boxed{\text{ヤ}}$である．

(3)　$x$についての$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解をもつ確率は$\boxed{\text{ユ}}$であり，$2$重解をもつ確率は$\boxed{\text{ヨ}}$である．

(4)　$f(x)=0$が整数解をもつ確率は$\boxed{\text{ラ}}$である．