2015　立命館大　文系学部A方式2月4日実施

【１】

(1)　$p$と$q$を定数とし，$f(x)=3x^2+2px+q$とする．関数$g(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}f(t)dt$が，$x=2$で極小値$-9$をとるとき，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$である．また，$g(x)$は$x=\boxed{\text{ウ}}$で極大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

【１】

(2)　点$(x,y)$が連立不等式$4x+y\geqq 4\text{，}4x+3y\leqq 12\text{，}y\geqq 0$の表す領域を動くとき，$2x+y$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．また，$x^2+y^2$の最大値は$\boxed{\text{キ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(3)

(a)　$x$の式$P(x)=|\sqrt{4x^2-12x+9}+\sqrt{x^2-10x+25}-2|$を$x$の範囲によって整理すると

$P(x)=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{ケ}}& \text{（}x<\boxed{\text{コ}}\text{）}\\ \boxed{\text{サ}}& \text{（}\boxed{\text{シ}}\leqq x<\boxed{\text{ス}}\text{）}\\ \boxed{\text{セ}}& \text{（}\boxed{\text{ソ}}\leqq x\text{）}\end{array}$

となる．

(b)　${\displaystyle \frac{3}{2}}<k<5$のとき，方程式$P(x)=k$を満たす$x$の値は，

$x=\boxed{\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{チ}}$（ただし，$\boxed{\text{タ}}<\boxed{\text{チ}}$）

である．

【２】　$xy$平面上に$6$つの点$\mathrm{A}(6,15)\text{，}\mathrm{B}(6,16)\text{，}\mathrm{C}(11,10)\text{，}\mathrm{D}(15,5)\text{，}\mathrm{E}(16,6)\text{，}\mathrm{F}(18,4)$がある．距離を用いてこれら$6$つの点を$2$つのグループに分けることを考える．

　このために，点と点との距離，点とグループとの距離，グループとグループとの距離を比較し，もっとも近い距離にあるものを$1$つのグループにまとめる．この手順をグループ化と呼び，これを繰り返すことにする．

　ただし，点とグループの距離は，点とグループの重心との距離，グループとグループとの距離は，グループの重心とグループの重心との距離である．ここでグループの重心とは，グループに含まれるすべての点の$x$座標の平均値，$y$座標の平均値をそれぞれ$x$座標と$y$座標とする点のことである．

(1)　$1$回目のグループ化の手順を実行すると，距離が$1$である点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が同じグループとなる．

(2)　$2$回目のグループ化の手順を実行すると，距離が$\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である点$\boxed{\text{テ}}$と点$\boxed{\text{ト}}$とが$1$つのグループとなる．

(3)　$3$回目のグループ化の手順を実行すると，距離が${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{2}}$である点$\boxed{\text{ニ}}$とグループ$\{\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}}\}$が$1$つのグループとなる．ここでグループ$\{\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}}\}$は，点$\boxed{\text{テ}}$と点$\boxed{\text{ト}}$からなるグループを表す．

(4)　$4$回目のグループ化の手順を実行すると，今回は距離が${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{3}}$である点$\boxed{\text{ネ}}$とグループ$\{\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ニ}}\}$が$1$つのグループとなる．

　以上で，$6$つの点を$2$つのグループに分けることができた．

【３】　$\angle \mathrm{BAD}$と$\angle \mathrm{CDA}$が鈍角である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．いま，四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:3\text{，}\mathrm{BE}:\mathrm{ED}=2:1$となる．また，辺$\mathrm{BA}$と辺$\mathrm{CD}$のそれぞれの延長線が交わる点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{PE}$が辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{AC}=15$のとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{c}$として，$\overrightarrow{\mathrm{PE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BD}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{PQ}}}=1$であることを示せ．

(4)　${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PC}}}$の値を求めよ．