2015　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　座標平面上の点$\mathrm{P}(p,q)$を通る傾き$m$の直線と放物線$y=x^2$が接しているとする．このとき$m$は

$m^2+\boxed{\text{ア}}m+\boxed{\text{イ}}=0$

を満たしている．

　点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に異なる$2$本の接線$l_1\text{，}{l}_2$が引けるための，$p\text{，}q$が満たすべき必要十分条件は$\boxed{\text{ウ}}$である．$l_1$と$l_2$が直交するとき，点$\mathrm{P}$は直線

$y=\boxed{\text{エ}}$

上にある．

　以下では，$p\text{，}q$が$\boxed{\text{ウ}}$を満たし，かつ$q<\boxed{\text{エ}}$とする．

$l_1\text{，}{l}_2$と放物線$y=x^2$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$として，$\angle \mathrm{QPR}$を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とおくとき，$\tan \theta$は$p\text{，}q$を用いて表すと

$\tan \theta =\boxed{\text{オ}}$

である．

　いま，点$\mathrm{P}$が$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$は方程式

$x^2-\boxed{\text{カ}}{(y+\boxed{\text{キ}})}^2=\boxed{\text{ク}}$

によって表される双曲線上の$y\leqq \boxed{\text{ケ}}$の範囲を動く．（$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$は$x\text{，}y$を用いずに答えよ．）

【２】　整数$m$に対して，$m$が$3$の倍数であることは，$m^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．よって，数列$\{a_n\}$の一般項が

$a_n=n^2$

と表されたとすると，最初の$20$項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{20}$のうち，$3$の倍数となる項は$\boxed{\text{コ}}$個含まれている．それら$3$の倍数の項の総和は$\boxed{\text{サ}}$である．

　$s$を自然数として，数列$\{b_n\}$の一般項が

$b_n={(n-s)}^2$

と表されるとする．最初の$20$項$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_{20}$のうち，$3$の倍数となる項の個数は，$s$が$3$の倍数のとき$\boxed{\text{シ}}$個，$s$が$3$で割って$1$余る数のとき$\boxed{\text{ス}}$個，$s$が$3$で割って$2$余る数のとき$\boxed{\text{セ}}$個である．

　$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_{20}$のうち，$3$の倍数となる項の総和を$s$の関数と見なして$f(s)$とおく．自然数$t$に対して，$f(3t)$を$t$で表すと

$f(3t)=\boxed{\text{ソ}}$

である．また，

$f(3t-1)-f(3t)=\boxed{\text{タ}}\text{，}$

$f(3t-2)-f(3t-1)=\boxed{\text{チ}}$

である．よって，$f(s)$は$s=\boxed{\text{ツ}}$において最小値$\boxed{\text{テ}}$をとる．

【３】　$c$を実数とする．関数$f(x)$に対して，

$S={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)-c|dx\text{，}T={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)-c\}}^{2}dx$

とおく．

(1)　$f(x)=x$とする．$c=\boxed{\text{ト}}$のとき，$S$は最小値$\boxed{\text{ナ}}$をとり，$c=\boxed{\text{ニ}}$のとき，$T$は最小値$\boxed{\text{ヌ}}$をとる．

(2)　$f(x)=e^x$とする．$c=\boxed{\text{ネ}}$のとき，$S$は最小値$\boxed{\text{ノ}}$をとり，$c=\boxed{\text{ハ}}$のとき，$T$は最小値$\boxed{\text{ヒ}}$をとる．

(3)　$2$以上の自然数$n$に対して，$f(x)=x^n$とする．$f(x)$の$x\geqq 0$での逆関数を$g(x)$とおくと，

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)-c\}}^{2}dx={\displaystyle {\int }_0^1}{\{g(x)-c\}}^{2}dx$

が成り立つのは，$c=\boxed{\text{フ}}$のときである．このときの$c$を$c_n$とおくと，$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\boxed{\text{ヘ}}$である．

【４】　空間に，立方体$\mathrm{PQRS}‐\mathrm{TUVW}$がある．この立方体に外接する球の中心を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が立方体$\mathrm{PQRS}‐\mathrm{TUVW}$の$8$個の頂点のいずれかに位置するときを考える．ただし，各点は同じ頂点に位置する場合もある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同一の頂点にある場合の数は$\boxed{\text{ホ}}$通りである．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同一直線上にある場合の数は，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同じ頂点にある$\boxed{\text{ホ}}$通りと$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が異なる頂点にある$\boxed{\text{マ}}$通りの合計として求められる．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同じ一直線上にある場合の数は$\boxed{\text{ミ}}$通りである．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が立方体$\mathrm{PQRS}‐\mathrm{TUVW}$の$8$個の頂点のいずれかに位置するときを考える．ただし，各点は同じ頂点に位置する場合もある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一直線上にある場合の数は$\boxed{\text{ム}}$通りである．$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一直線上にある場合の数は$\boxed{\text{メ}}$通りであり，同一平面上にない場合の数は$\boxed{\text{モ}}$通りである．

(3)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が立方体$\mathrm{PQRS}‐\mathrm{TUVW}$の$8$個の頂点のいずれかに位置するときを考える．ただし，各点は同じ頂点に位置する場合もある．$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が同一直線上にある場合の数は$\boxed{\text{ヤ}}$通りであり，異なる頂点にあって，かつ同一平面上にある場合の数は$\boxed{\text{ユ}}$通りである．