2015　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\sqrt{5}\text{，}\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{BC}=2\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\angle \mathrm{AOC}=120\mathrm{°}$とし，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{AC}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\mathrm{AD}=\boxed{\text{イ}}$である．また，$\cos \angle \mathrm{AOD}=\boxed{\text{ウ}}$であり，$▵\mathrm{OAD}$の面積$S$は$S=\boxed{\text{エ}}$である．頂点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とすると，$\mathrm{OH}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんがそれぞれ$1$個のサイコロを$2$回ずつ投げる．$\mathrm{A}$さんが投げたときに出た目の和を$X\text{，}\mathrm{B}$さんが投げたときに出た目の和を$Y$とする．$X=10$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，$Y=6$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$X=5Y$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X=4Y$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．さらに，$3X=4Y$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数

$y=-3{\sin }^2\theta +3\cos \theta +5({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq \pi )$

について考える．$t=\cos \theta$とおくと，$t$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ア}}\leqq t\leqq \boxed{\text{イ}}$であり，$y$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{ウ}}$となる．$k$を実数とする．$-3{\sin }^2\theta +3\cos \theta +5=k$を満たす$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq \pi$の範囲に$2$個あるとき，$k$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{エ}}<k\leqq \boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められている．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{7}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{4a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおいて，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと$b_{n+1}=\boxed{\text{カ}}{b}_n+\boxed{\text{キ}}$となる．ただし，$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$は数値である．よって数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{ク}}$となり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}$と求まる．また数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=\boxed{\text{ケ}}$となる．さらに，数列$\{c_n\}$が

$c_1=1\text{，}{c}_{n+1}=c_n+{\displaystyle \frac{6}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a$を$a>2$を満たす実数とする．$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2-2x$および$C_2\text{：}y=-x^2+2ax-2a$について次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　$C_2$上の点$(2,2a-4)$における$C_2$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$l$を(2)で求めた接線とするとき，放物線$C_1$と接線$l$および$2$直線$x=1\text{，}x=a$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}{S}_2$を$a$を用いて表せ．

(4)　$S_1\text{，}{S}_2$を(3)で求めた面積とする．$2S_1-3S_2+2=0$を満たす$a$の値は$2$つあることを示せ．