2015　西南学院大学　神,経済学部Ａ日程MathJax

【１】

1　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}$内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=45\mathrm{°}$のとき，以下の値を求めよ．

(1)　$\mathrm{AC}=\boxed{\text{ア}}$

(2)　$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{イウ}}\mathrm{°}$

(3)　$S={\displaystyle \frac{3+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

(4)　$r={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}})$

【１】

２　$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$で極小値，$x=\boxed{\text{シ}}$で極大値をとる．

また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\boxed{\text{ス}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【２】

１　以下の問に答えよ．

(1)　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$を原点のまわりに正の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した直線の方程式は$y=\boxed{\text{チ}}x$である．

【２】

１　以下の問に答えよ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}(-1,5)\text{，}\mathrm{B}(3,2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m\leqq \boxed{\text{ツテ}}\text{，}m\geqq \boxed{\text{ト}}$である．

【２】

１　以下の問に答えよ．

(3)　$2$点$\mathrm{C}(2,1)\text{，}\mathrm{D}(5,4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡の方程式は，${(x-\boxed{\text{ナ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ニ}})}^2=\boxed{\text{ヌ}}$である．

【２】

２　以下の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k+1)=\boxed{\text{ネ}}{n}^2+\boxed{\text{ノ}}n$

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{2(k-1)(2k+1)}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}n}{\boxed{\text{ヒ}}n+1}}$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{(-1)}^k{2}^{k-1}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{フ}}}}({\boxed{\text{ヘ}}}^n-1)$

【３】　集合${\mathrm{X}}_k$は次のように定義される．

${\mathrm{X}}_k=\left\{{\displaystyle \frac{1}{x}}\right|x\text{は}k\text{桁の自然数で，}x\text{の全ての位に}1\text{を含まない．}\}$

また，$n({\mathrm{X}}_k)$は${\mathrm{X}}_k$の要素の個数，$s({\mathrm{X}}_k)$は${\mathrm{X}}_k$の全ての要素の和とする．たとえば，$n({\mathrm{X}}_1)=8\text{，}s({\mathrm{X}}_1)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{9}}$である．以下の問に答えよ．

(1)　$n({\mathrm{X}}_3)$を求めよ．

(2)　$s({\mathrm{X}}_1)<4$を証明せよ．

(3)　$s({\mathrm{X}}_2)<{\displaystyle \frac{18}{5}}$を証明せよ．

(4)　$s(X_1)+s(X_2)+s(X_3)<{\displaystyle \frac{271}{25}}$を証明せよ．