2016　京都大学　特色入試総合人間学部

【１】　$n$を自然数とする．複素数$z$が単位円$\left|z\right|=1$を一周するとき，

$f(z)=z-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}{z}^{n+1}$

が錨く曲線の長さを求めよ．

【２】　関数$f(x)$は$2$回微分可能であり，$f(0)>0>f^{\prime }(0)$かっすべての$x$に対し$f^{″}(x)<0$を満たすとする．

問１　$f(a)=0$を満たす正の数$a$がただ$1$つ存在することを示せ．

問２　曲線$y=f(x)$の点$(t,f(t))$$\text{（}1\leqq t\leqq a\text{）}$における曲線の接線と$x$軸，および$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$の最小値を与える点が区間$(0,a)$内にただ$1$つ存在することを示せ．