2016　京都大学　特色入試理学部

【１】　$n$を$2$以上の整数とする．原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円周を$n$等分する点を時計回りに${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$$\cdots \text{．}$${\mathrm{P}}_{n-1}$とする．これら$n$点から無作為に$1$点を選ぶ試行を独立に$3$回繰り返し，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を順に選ぶ．ただし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は重複を許して選び，どの$n$点も同じ確からしさで選ぶものとする．$0\leqq j\text{，}$$k\text{，}$$l\leqq n-1$に対し，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$がそれぞれ${\mathrm{P}}_j\text{，}$${\mathrm{P}}_k\text{，}$${\mathrm{P}}_l$である確率を$p_{jkl}$とする．$3$点${\mathrm{P}}_j\text{，}$${\mathrm{P}}_k\text{，}$${\mathrm{P}}_l$が異なるとき，三角形${\mathrm{P}}_j{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_l$の面積を$S_{jkl}$とおく．また，$3$点${\mathrm{P}}_j\text{，}$${\mathrm{P}}_k\text{，}$${\mathrm{P}}_l$に重複があるとき，$S_{jkl}=0$とおく．

$E_n={\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}}\left\{{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\right({\displaystyle \sum _{l=0}^{n-1}}{P}_{jkl}{S}_{jkl}\left)\right\}$

とおく．$E_n$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n$を求めよ．

【２】　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で定義された連続関数$f(x)$に対し，$x$が$0\leqq x\leqq 1$の範囲を動くときの$f(x)$の最大値を$\underset{0\leqq x\leqq 1}{\max }f(x)$とおく．以下の設問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数$f(x)$に対し，以下の不等式が成立することを示せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}\leqq 3\underset{0\leqq x\leqq 1}{\max }|{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}|$

ただし，$f(x)$が狭義単調増加であるとは，「$x<y$ならば$f(x)<f(y)$」を満たすことをいう．

(2)　以下の条件(A)を満たすような実数$C$は存在しないことを示せ．

(A)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で定義されたどのような連続関数$f(x)$に対しても，不等式

${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}\leqq C\underset{0\leqq x\leqq 1}{\max }|{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}|$

が成立する．

【３】　$n$を$3$以上の整数とし，$k$を自然数とする．表裏の区別の付く$n$枚のコインを用いて$1$人で以下のゲームを行う．

・まず，ゲームの初期状態として，$n$枚のコインを円周上に等間隔に並べる．各コインは表または裏である．

・以下の操作を何回か繰り返す．

(操作)並べたコインの中から連続する$k$枚を選び，選んだコインをすべてひっくり返す．

・この操作を何回か行った結果，すべてのコインを表にすることができれば，ゲームは終了する．

　以下の設問に答えよ．

(1)　$n=7\text{，}$$n=3$とする．初期状態が図１のとき，このゲームを終了させることができることを示せ．また，すべてのコインを表にするまでに必要な操作の最小回数を求めよ．

(2)　$n=6\text{，}$$k=3$とする．初期状態が図２のとき，このゲームを終了させることはできないことを示せ．

(3)　どのような初期状態であっても必ずこのゲームを終了させることができるための，$n\text{，}$$k$に関する必要十分条件を求めよ．

【４】　以下の条件をすべて満たす数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$は存在するか．

(条件１)　すべての自然数$n$に対して，$x_n$および$y_n$は自然数である．

(条件２)　すべての自然数$n\text{，}$$m$に対して，不等式

$|n-m|\leqq 100|x_n-x_m|+100|y_n-y_m|+100$

が成立する．

(条件３)　どのような自然数$a\text{，}$$b$に対しても，自然数$n$を適切に選べば不等式

$|a-x_n|+|b-y_n|\leqq 100$

が成立する．