2016　東北学院大学　前期工学部全学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\sin \theta +\cos \theta =k$とするとき${\displaystyle \frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }}$を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2^{2016}\cdot 3^{2020}$は$\boxed{\text{(イ)}}$桁の数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,1,3)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,0,-3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$\boxed{\text{(ウ)}}$となる．

【２】　不等式

$x^2+y^2-2x-2y+1\leqq 0$

の表す領域を$A$とし，不等式

${\log }_{10}(y-1)-2{\log }_{10}|x-1|\geqq 0$

で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A$を図示せよ．

(ⅱ)　$B$を図示せよ．

(ⅲ)　点$(x,y)$が$A$と$B$の共通部分$A\cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=-x^2+1$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ．

(ⅱ)　$0<t<1$とする．$A$から，$4$点$(1,0)\text{，}(t,-t^2+1)\text{，}(-t,-t^2+1)\text{，}(-1,0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ．

(ⅲ)　$S(t)$の最小値を求めよ．

【４】　定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}}dx\text{，}J={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}}dx$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$I+\sqrt{3}J$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\sqrt{3}I-J$の値を求めよ．

(ⅲ)　$I\text{，}J$の値を求めよ．