2016　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{EA}$を，$\mathrm{N}$は辺$\mathrm{CG}$をそれぞれ$1:2$の比（$\mathrm{EM}:\mathrm{MA}=\mathrm{CN}:\mathrm{NG}=1:2$）に内分する点とする．さらに，線分$\mathrm{MN}$上に点$\mathrm{P}$を，線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するようにとる．

(a)　$\mathrm{MN}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MN}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$である．

(b)　線分$\mathrm{OP}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$で定まる平面と交わる点を$\mathrm{K}$とし，線分$\mathrm{OP}$の$\mathrm{P}$を越える延長が立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$の面と交わる点を$\mathrm{L}$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{OP}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{OL}}{\mathrm{OP}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　$x\text{，}y$が$3$つの条件$x^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{4}}\text{，}0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1$を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$xy$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\leqq xy\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(b)　$x+y$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\leqq x+y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}$

である．

(c)　$x=\sin \alpha \text{，}y=\cos \beta (0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0\leqq \beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．このとき，$\cos (\alpha +\beta )$のとり得る値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ス}}}\leqq \cos (\alpha +\beta )\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{タ}}}$

である．また，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}$

のとき，$\cos (\alpha +\beta )=0$となる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　一般項が

$a_n=n{\left({\displaystyle \frac{15}{17}}\right)}^n$

で表される数列$\{a_n\}$に対して，$a_n$が最大となるのは$n=\boxed{\text{ア}}$のときである．

(b)　一般項が

$a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^3-2n^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}n$

で表される数列$\{a_n\}$に対して，$a_n$が最小となるのは$n=\boxed{\text{イ}}$のときである．

(c)　一般項が

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{2n}})}^4$

で表される数列$\{a_n\}$に対して，$a_n$が最大となるのは$n=\boxed{\text{ウ}}$のときである．

【２】

(1)　次の定積分の値を求めなさい．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$

(b)　${\displaystyle {\int }_1^4}{\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}dx$

　ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

【２】

(2)　座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=2$および点$\mathrm{A}(2,1)$がある．このとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　点$\mathrm{A}$を通り，円$C$に接する直線の方程式を求めなさい．

(b)　点$\mathrm{A}$を通る直線が円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{PQ}$の長さが$2$であるとき，直線の方程式を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}$点$\mathrm{B}(-\sqrt{3},1)$および点$\mathrm{C}(\sqrt{3},1)$がある．線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$（点$\mathrm{P}$は端点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と一致しない）を，線分$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$（点$\mathrm{Q}$は端点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$と一致しない）をとり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=k:1-k\text{（}0<k<1\text{），}\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=l:1-l\text{（}0<l<1\text{）}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{M}$の座標を$k\text{，}l$で表しなさい．

(2)　$\mathrm{PQ}=2$の場合，$l$を$k$で表しなさい．

以下，点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AB}$上で動かし，$\mathrm{PQ}=2$となるような線分$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を考える．

(3)　点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AB}$上で動かすとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}(x,y)$の軌跡を$x\text{，}y$の式で表しなさい．

(4)　三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形となるように，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線の下側の部分に点$\mathrm{R}$をとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AB}$上で動かすとき，点$\mathrm{R}$の$y$座標がとり得る値の範囲を求めなさい．