2016　東京理科大学　薬学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　方程式

${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{x_n}}=1$

の整数解で条件$0<x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_n$をみたすものを考える．

(1)　$n=2$のとき，条件をみたす整数解$(x_1,x_2)$の個数は$\boxed{\text{ア}}$個である．

(2)　$n=3$のとき，条件をみたす整数解$(x_1,x_2,x_3)$の個数は$\boxed{\text{イ}}$個であり，それらの解のうち$x_1+x_2+x_3$の値が最も大きいものは$(x_1,x_2,x_3)=(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

(3)　$n=4$のとき，条件をみたす整数解$(x_1,x_2,x_3,x_4)$の$x_4$で最も大きい値は$\boxed{\text{カ}\text{キ}}$である．また，条件をみたす整数解で$x_4=12$のものは$\boxed{\text{ク}}$個ある．この$\boxed{\text{ク}}$個の解のうち，$x_3$の値が最も小さいのは

$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},12)$

である．

【２】　$z$の関数

$f(x)=|x+1|-|x-1|+|x-2|$

を考える．

(1)　不等式$f(x)<{\displaystyle \frac{3}{2}}$の解は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}<x<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　実数$k$に対して，方程式$f(x)=k$がちょうど$3$個の解をもつのは$k=\boxed{\text{オ}}$と$k=\boxed{\text{カ}}$のときである．ただし$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{カ}}$とする．

(3)　方程式$f(x)={\displaystyle \frac{17}{19}}\sqrt{5}$の解の個数は$\boxed{\text{キ}}$個である．

(4)　実数$t$に対して

$I(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}{(f(x))}^{2}dx$

とおく．

(a)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，

$I(t)=-\boxed{\text{ク}}{t}^2+\boxed{\text{ケ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

(b)　$1\leqq t\leqq 2$のとき，

$I(t)=\boxed{\text{ス}}{t}^2-\boxed{\text{セ}\text{ソ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

(c)　$0\leqq t\leqq 2$で考えると，$I(t)$は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$において，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}$をとる．

【３】　さいころを$n$回投げ，第$1$投目から第$n$投目までに出たすべての目の積を$a_n$とする．例えば$n=3$で，第$1$投目と第$2$投目に「$3$」が出て，第$3$投目に「$6$」が出た場合$a_3=3\times 3\times 6=54$である．

(1)　$a_n$が$5$の倍数または$3$の倍数である確率は$1-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\right)}^n$である．

(2)　$a_n$が$5$の倍数であるが，$3$の倍数でない確率は${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^n$である．

(3)　$a_n$が$15$の倍数である確率は$1+{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\right)}^n$である．ただし$\boxed{\text{コ}}<\boxed{\text{シ}}$とする．

(4)　$a_n$が$3$の倍数であるが，$2$の倍数でない確率は${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\right)}^n$である．

(5)　$a_n$が$2$の倍数であるが，$5$の倍数でない確率は${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\right)}^n$である．

(6)　$a_n$が$30$の倍数である確率を$q_n$とすると，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-q_n)=\log {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．ただし，対数は自然対数を表すものとする．

【４】　関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を

$f(x)=-x^2+2x+8$

$g(x)=-x+{\displaystyle \frac{5}{4}}$

$h(x)=x^2-x-1$

により定める．

(1)　$f(x)>0$かつ$g(x)>0$かつ$h(x)>0$となる$x$の値の範囲は

$-\boxed{\text{ア}}<x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

(2)　$x$が(1)で求めた範囲にあるとき，$3$辺の長さがそれぞれ$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$であるような三角形ができるための条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\sqrt{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}<x<\boxed{\text{ス}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}$

である．

(3)　(2)で作られた三角形が二等辺三角形となるような$x$の値は$\boxed{\text{ツ}}$個ある．作られた三角形が正三角形になるときの$x$の値は$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$であり，その正三角形の$1$辺の長さはa${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$ である．またその正三角形の外接円の直径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$である．

【５】　自然数$n$に対し，整式$x^n$を整式$x^4+1$で割った余りを$g_n(x)$とする．

(1)　方程式$x^4+1=0$の解のうち，偏角が一番小さいもの$\alpha$は

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}i$

である．ただし，$i$は虚数単位で，複素数の偏角は$0$以上$2\pi$未満の範囲で考えるものとする．

(2)　$g_5(x)\text{，}{g}_6(x)\text{，}{g}_7(x)$は

$g_5(x)=-\boxed{\text{キ}}{x}^3-\boxed{\text{ク}}{x}^2-\boxed{\text{ケ}}x-\boxed{\text{コ}}$

$g_6(x)=-\boxed{\text{サ}}{x}^3-\boxed{\text{シ}}{x}^2-\boxed{\text{ス}}x-\boxed{\text{セ}}$

$g_7(x)=-\boxed{\text{ソ}}{x}^3-\boxed{\text{タ}}{x}^2-\boxed{\text{チ}}x-\boxed{\text{ツ}}$

である．

(3)　$g_{2016}(x)$は

$g_{2016}(x)=\boxed{\text{テ}}{x}^3+\boxed{\text{ト}}{x}^2+\boxed{\text{ナ}}x+\boxed{\text{ニ}}$

である．

以下では，$\alpha$は(1)で求めたものとする．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{31}}{g}_k(\alpha )={\alpha }^{\boxed{\text{ヌ}}}$である．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{94}}{(g_k(\alpha ))}^3$の虚部は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

(6)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{1003}}{(g_k(\alpha ))}^4$の実部は$-\boxed{\text{ヒ}}\text{，}$虚部は$\boxed{\text{フ}}$である．

【６】　$0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数$x$の範囲を定義域とする関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin 4x+2\sin 2x\cos x}{\sin x}}$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　右側極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$f(x)=0$の解は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$である．ただし${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$とする．

(3)　$f(x)$は$x=\alpha$で最小値をとるとする．このとき

$\cos a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

$f(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

である．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\pi$

である．